Basis von Vektorraum bestimmen

31.10.2012, 08:28	Franhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Vektorraum bestimmen Hallo Zusammen! Ich muss für folgenden Vektorraum eine Basis finden: {(x1, x2, x3) E R^4; x1 + 3x2 + 2x4 = 0; 2x1 + x2 + x3 = 0} Wie gehe ich da vor? es sind ja nur 2 Gleichungen und 4 Unbekannte, damit Ich die Abhängigkeit von x1 - x4 herausfinden kann. Und wie muss ich weitermachen, damit ich eine Basis bekomme? Danke und Gruss Franhu
31.10.2012, 08:48	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Vektorraum bestimmen Löse das LGS....
31.10.2012, 08:55	Franhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach was soll ich das GLS auflösen? pög
31.10.2012, 09:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ein LGs gegeben: $\begin{eqnarray} x_1+3x_2+2x_4=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray}$ Das gilt es zu lösen..... Die Frage, nach was du auflösen sollst verstehe ich nicht......
31.10.2012, 09:09	Franhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher wie ich dieses GLS lösen soll, da es ja 4 Unbekannte und nur 2 Gleichungen hat. Kann ich da eine Unbekannte einmal 0 setzten und die anderen durch eine Unbekannte z.B x3 ausdrücken? dann habe ich am Schluss eine Lösung die z.B. so aussieht: x1= 2x3 x2 = 3x3 x3 = x3 x4 = 0 Gruss
31.10.2012, 09:31	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Lösungsraum hat halt die Dimension 2. Parametrisiere zwei Unbekannte, also setze z.B. $\begin{eqnarray} x_1= \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2= \mu \end{eqnarray}$ und stelle die anderen Unbekannten in Abhängigkeit von lambda und mu dar...
Anzeige

31.10.2012, 09:42	Franhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ich habe jetzt x1 = t x2 = r gesetzt. dann bekomme ich: x1 = t x2 = r x3 = -2t - r x4 = (-t-3r)/2 Wie berechne ich jetzt eine Basis? Wie muss ich t und r wählen oder kann ich die frei wählen? Danke und Gruss
31.10.2012, 10:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
t und r sind Skalare aus dem Körper, über dem sich der Vektorraum befindet. Um eine Basis zu bestimmen können diese frei gewählt werden, denn jede Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem.
31.10.2012, 19:15	Franhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend. Danke für deine HIlfe. das heisst ich kann nun für r und t irgendwelche werte nehmen und somit 4 Vektoren kreieren und diese sind dann automatisch eine Basis? Gruss
31.10.2012, 19:49	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie, vier Vektoren? Wenn du vier nähmst, dann wären diese mit Sicherheit keine Basis.....
31.10.2012, 19:59	Franhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eigentlich meine Frage. Kann ich einfach für t und r zwei Werte nehmen z.B t = 1 und r = 1 und dann den ersten Vektor v1 ausrechnen und dann für t = 2 und r = 2 nehmen und den zweiten Vektor v2 ausrechnen. Danach überprüfe ich ob diese zwei Vektoren linear unabhängig sind, wenn ja dann sind sie eine Basis, wenn nein versuche ich es mit neuen Werten für t und r?
31.10.2012, 20:07	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch deine Lösung gegeben durch: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\ x_4\end{pmatrix}=\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}2t\\2r\\-4t-2r\\-t-3r\end{pmatrix}=\frac{1}{2} \cdot (s \cdot \vec{u}+ t \cdot \vec{v}) \end{eqnarray}$ Also zwei Vektoren u und v, die den Vektorraum aufspannen.......

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »