Leibniz Kriterium & absolute Konvergenz

31.10.2012, 17:06	PeteZwegat	Auf diesen Beitrag antworten »
Leibniz Kriterium & absolute Konvergenz Hallo Leute, und zwar soll ich folgende Reihe auf Konvergenz bzw. auf absolute Konvergenz überprüfen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^n \sqrt{\frac{n+1}{n^3} } \end{eqnarray}$ Das habe ich auch mit dem Leibniz-Kriterium überpüft und rausgefunden das es konvergiert. Heißt das jetzt das es nicht absolut konvergiert oder muss ich das auch noch überprüfen? Bzw. mit welchem Ansatz könnte ich da ran gehen? Vielen Dank Edit Equester: Habs wie gewünscht verschoben :.
31.10.2012, 21:35	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz Kriterium & absolute Konvergenz Die absolute Konvergenz musst du natürlich noch überprüfen. Vielleicht findest du ja eine gute Abschätzung (also Majoranten- oder Minorantenkriterium). Denk an das Konvergenzverhalten der allgemeinen harmonischen Reihe.
01.11.2012, 17:48	PeteZwegat	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank! Könnte ich dann im Prinzip so argumentieren : $\begin{eqnarray} \|\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \sqrt{\frac{n+1}{n^3} }\| = \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{\frac{n+1}{n^3} }\geq \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{\frac{n}{n^3} } = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ? Und da die harmonische Reihe nicht konvergiert, ist die Reihe divergent. Und meine Anfangsreihe nicht absolut konvergent?
01.11.2012, 17:56	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist die richtige Abschätzung (bzw. eine richtige). Ich wäre beim Abschätzen bei divergenten Reihen immer vorsichtig mit dem Summenzeichen. Sonst landet man schnell bei solchen Sachen wie $\begin{eqnarray} \infty > \infty \end{eqnarray}$ und das macht keinen Sinn. Schätze lieber die reine Folge ab (also ohne Summenzeichen): $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{n+1}{n^3}} > .... = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Und dann kann man sagen, dass $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ bekanntlich divergiert und daher auch $\begin{eqnarray} \sum \sqrt{\frac{n+1}{n^3}} \end{eqnarray}$ divergieren muss. So geht man da auf Nummer sicher.
19.12.2018, 10:54	EbY	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich dann eigentlich pauschal sagen, dass eine alternierende Reihe nicht absolut Konvergenz sein kann ?
19.12.2018, 10:59	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach dich lieber auf die Suche nach einem Gegenbeispiel.
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