Gauß mit Bedingungen (Lösbarkeit)

31.10.2012, 18:39

baba2k

Gauß mit Bedingungen (Lösbarkeit)

Hallo zusammen,

ich bin mir bei folgender Aufgabe nicht sicher:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem für die Unbekannten x,y und z

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & 1 & -\alpha \\ 3 & -2 & 2 \\ -\alpha & 2 & -\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ seien beliebige reelle Zahlen).

Unter welcher Bedingung ist das System
(i) nicht lösbar?
(ii) eindeutig lösbar?
(iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar?

Meine Rechung:

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & -\alpha & 0 \\ 3 & -2 & 2 & 0 \\ -\alpha & 2 & -\alpha & \beta \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II'=I\cdot3-II\cdot\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III'=I+III \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & -\alpha & 0 \\ 0 & 2\alpha+3 & -5\alpha & 0 \\ 0 & 3 & -2\alpha & \beta \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III''=II'-III'\cdot(\frac{2}{3}\alpha+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & -\alpha & 0 \\ 0 & 2\alpha+3 & -5\alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha(\frac{4}{3}\alpha-3) & \beta(-\frac{2}{3}\alpha-1) \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

(i) nicht lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha(\frac{4}{3}\alpha-3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta(-\frac{2}{3}-1)\not=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn ( $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} \beta\not=0 \end{eqnarray*}$

(ii) eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha(\frac{4}{3}\alpha-3)\not=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \alpha\not=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha\not=\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

(ii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha(\frac{4}{3}\alpha-3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta(-\frac{2}{3}-1)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn ( $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} \beta=0 \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen?

Vielen Dank!

31.10.2012, 19:59

baba2k

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Upps, bitte in Hochschulmathematik verschieben -.-

Bei (i) bin ich mir garnicht sicher, muss da nicht auch $\begin{eqnarray*} \alpha\not=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ gelten? Sonst wäre $\begin{eqnarray*} \beta\cdot0=0 \end{eqnarray*}$ aber dafür die vordere Gleichung nicht mehr 0... Bin mir irgendwie nicht mehr sicher.

Hab das analog zu der Aufgabe im Anhang gemacht.

31.10.2012, 20:42

Dopap

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Zitat:

Original von baba2k

Bei (i) bin ich mir garnicht sicher, muss da nicht auch $\begin{eqnarray*} \alpha\not=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ gelten? Sonst wäre $\begin{eqnarray*} \beta\cdot0=0 \end{eqnarray*}$ aber dafür die vordere Gleichung nicht mehr 0... Bin mir irgendwie nicht mehr sicher.

in i.) hast du die notwendige Bedingung der Unlösbarkeit schon genannt:

der Faktor am $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ muss Null sein --> 2 Lösungen für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Beide machen den Faktor am $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ nicht zu Null. Und $\begin{eqnarray*} \alpha \neq -\frac 32 \end{eqnarray*}$ ist dann automatisch erfüllt.

31.10.2012, 20:43

baba2k

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Alles klar, super vielen Dank, habs mir schon fast gedacht! Kannst du mir sagen, ob die anderen Bedingungen auch so okay sind?

31.10.2012, 20:53

Dopap

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wenn i.) klar ist, dann folgt entsprechend

iii.) $\begin{eqnarray*} .... \beta = 0 \end{eqnarray*}$ richtig !

ii.) auch richtig.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ alles richtig.

mit der Zeit erscheint das gar nicht mehr so schwierig, oder smile

31.10.2012, 20:56

baba2k

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Vielen Dank, langsam klappt es ganz gut smile

31.10.2012, 21:43

Dopap

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freut mich wenn es vorwärts geht.

Tip: keine Brüche in Zeilen! zur Not immer mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren

statt $\begin{eqnarray*} \alpha ( \frac 43 \alpha-3)=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \alpha ( 4 \alpha-9)=0 \end{eqnarray*}$

im Kopf viel leichter zu lösen Augenzwinkern

31.10.2012, 21:48

baba2k

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Das ist echt ein sehr guter Tipp, vielen Dank!

Analog dazu

$\begin{eqnarray*} \beta(-2\alpha-3) \end{eqnarray*}$ richtig?

//EDIT:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} III''=II'-III'\cdot(\frac{2}{3}\alpha+1) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das allerdings hier mache, komme ich nicht mehr auf Null...?

Mh ist ja eigentlich auch logisch, ich rechne ja dann später erst mal 3...

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