Erzeugenden System des R^3 mit 4 Vektoren

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Mathestudentt Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugenden System des R^3 mit 4 Vektoren
Nabend,

stehe vor folgender Aufgabenstellung:

Man betrachte R^3 und die Elemente:



Bilden v1 - v4 ein Erzeugendensystem?

-----------------------------------------------------

Ich habe also folgendes LGS aufgestellt:

I
II
III

Herausbekommen habe ich:

a=b=c und d=-2*a

Da man jede reele Zahl für die Variable einsetzen kann, hat das LGS unendlich viele Lösungen und ist daher linear abhängig.
Weil die Vektoren linear abhängig sind, können Sie kein Erzeugendensystem von R^3 sein, stimmt das?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathestudentt



Bilden v1 - v4 ein Erzeugendensystem?



von was, vom oder vom oder vom ?

klar dass die 4 Vektoren im linear abhängig abhängig sind. Was ist mit Erzeugendensystem eigentlich gemeint ?
Marielle Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Titel geht es um ein Erz.Sys, von R^3.

Ein Erzeugendensystem muss nicht aus linear unabhängigen Elementen bestehen, das gilt nur für eine Basis.

z.b. könnte ich R^2 ja mit der Stdbasis (1 0) und (0 1) erzeugen ( Das wäre sogar eine Basis )
Aber genauso würde es auch mit (1 0), (0 1) und (7 2) gehen, denn ich kann immernoch jedes Element aus R^2 kombinieren. smile
Mathestudentt Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die 4 Vektoren in eine Matrix überführt und umgeformt.

Habe dann folgendes herausbekommen:



Der Rang der Matrix ist ja 3 und es geht hier ja um ein Erzeugendensystem des R^3.

Deshalb bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem, da Rang und ^3 identisch sind, stimmt das?

Ist die Matrix auch in der Form, bei der man den Rang ablesen kann, oder muss weiter umgeformt werden?

Danke smile
Marielle Auf diesen Beitrag antworten »

Passt so, denke ich. smile
Mathestudentt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marielle
Passt so, denke ich. smile


Sicher? Big Laugh Big Laugh Big Laugh
 
 
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das genügt (ich habe jetzt nicht nachgerechnet, ob deine Matrix so passt, aber wenn das der Fall ist, ist die Argumentation ausreichend).
Mathestudentt Auf diesen Beitrag antworten »

danke sehr smile
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