Gruppen und Körper

01.11.2012, 14:10

Phriction

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Gruppen und Körper

Hallo ihr Lieben smile

smile

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} A[a,b] \end{eqnarray*}$ die Menge aller auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ definierten reelen Funktionen. Auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ werde wie folgt eine Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und eine Multiplikation $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ definiert: Seien $\begin{eqnarray*} f,g \in A[a,b] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (f \oplus g)(x)=f(x)+g(x), (f \otimes g)(x)=f(x)*g(x) \end{eqnarray*}$

a) Welche Struktur haben $\begin{eqnarray*} (A[a,b], \oplus) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A[a,b], \otimes) \end{eqnarray*}$ ? Wie sieht es mit $\begin{eqnarray*} (A[a,b], \oplus, \otimes) \end{eqnarray*}$ aus?

Ich denke $\begin{eqnarray*} A[a,b], \oplus, \otimes \end{eqnarray*}$ ist ein Körper weil es zwei Verschiedene Verknüpfungen gibt und $\begin{eqnarray*} A[a,b], \oplus \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} A[a,b], \otimes \end{eqnarray*}$ sind Gruppen, weil sie nur eine Verknüpfung besitzen.

Ich weiß aber leider nicht, wie ich ansetzen soll, um das zu beweisen, weil mir Methoden, die wir jetzt im ersten Semester anwenden müssen, noch völlig neu sind. Ich bräuchte vor allem einen Denkanstoß und vielleicht einen Tipp dazu, wie man mit solchen Aufgaben grundsätzlich umgeht-

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen smile

smile

01.11.2012, 14:30

RavenOnJ

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das mit dem Körper würde ich mir nochmal überlegen. Zu $\begin{align*} A \end{align*}$ gehören doch auch Funktionen, die eine Nullstelle haben.

Gruß
Peter

01.11.2012, 14:34

RavenOnJ

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RE: Gruppen und Körper

Zitat:

Original von Phriction
... $\begin{eqnarray*} A[a,b], \otimes \end{eqnarray*}$ sind Gruppen, weil sie nur eine Verknüpfung besitzen.

Auch das würde ich mir nochmal überlegen. Was sind die Gruppenaxiome? Oder anders gefragt, welches Axiom wird verletzt? (Das hängt mit meinem vorigen Post zusammen)

Gruß
Peter

01.11.2012, 14:46

Phriction

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Darf die 0 denn nicht in einem Körper vorkommen? Die 0 wäre doch das neutrale Element der Addition?

Ich habe mir jetzt die Gruppenaxiome noch einmal durchgelesen, aber weiß nicht, welches da jetzt verletzt wird.

Bedeutet $\begin{eqnarray*} A[a,b] \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller auf dem Interval $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ definierten reellwertigen Funktionen, dass der Definitions- und Zielbereich all dieser Funktionen zwischen a und b liegt?

01.11.2012, 14:54

RavenOnJ

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Doch, die 0 kommt natürlich vor, sie ist ja, wie gesagt, das neutrale Element zur Additionsoperation. Zur multiplikativen Gruppe gehören jedoch alle Elemente des Körpers ohne die 0! Frag dich mal, ob jede Funktion ein inverses Element hat.

Bei dem Intervall [a,b] handelt es sich nur um den Definitionsbereich. Der Zielbereich ist $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ .

Gruß
Peter

01.11.2012, 14:57

Phriction

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Ok, zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ hat kein inverses Element, weil ich zum Beispiel für den Wert 4 entweder 2 oder -2 eingesetzt haben könnte?

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01.11.2012, 15:02

RavenOnJ

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gibt es hier ein Missverständnis? Ich nahm an, die multiplikative Operation ist die punktweise Multiplikation der Funktionen und nicht die Verknüpfung.

Gruß
Peter

01.11.2012, 15:07

Phriction

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Ich denke du hast Recht. Auf jeden Fall stimmt die Aufgabenstellung so, wie ich sie hingeschrieben habe. Aber meine Verwirrung bei diesem Thema ist enorm groß. Also ist die Frage jetzt, ob es immer ein inverses Element gibt, wenn ich Funktionswerte von f und g miteinander multipliziere? Dann gäbe es kein inverses Element, falls eine der Funktionen eine Nullstelle bei x hat, an der die andere keine besitzt?

01.11.2012, 15:12

RavenOnJ

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nehmen wir also weiterhin an, es ist die punktweise Multiplikation gemeint. Was ist denn das Inverse von $\begin{align*} 0\in\mathbb{R} \end{align*}$ ?

Gruß
Peter

01.11.2012, 15:14

Phriction

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Jedes $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ ist doch dann letztendlich ein inverses Element von 0 oder nicht?

01.11.2012, 15:16

RavenOnJ

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ähm

unglücklich

, durch 0 darf nicht geteilt werden, die 0 hat also kein Inverses.

Gruß
Peter

01.11.2012, 15:20

Phriction

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Stimmt natürlich, war gerade etwas verwirrt bezüglich dem inversen Element Big Laugh

Big Laugh

Aber inwiefern hiflt mir dieses Wissen weiter? Also wird Axiom verletzt, dass es ein inverses Element gibt?

01.11.2012, 15:50

RavenOnJ

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exakt

01.11.2012, 15:54

Phriction

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Wie kann ich das beweisen? Einfach in dem ich als Beispiel das Inverse von Null suche und dann darauf stoße, dass man nicht durch 0 teilen kann? Reicht das als mathematische Begründung?

01.11.2012, 16:12

RavenOnJ

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erstmal solltest du das 0-Element angeben, sowie - falls vorhanden - das 1-Element.

Gruß
Peter

01.11.2012, 16:19

Phriction

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Das Nullelement der Multiplikation ist ja die 0. Das Einselement ist die 1. Das inverse Element für a gibt es nur, wenn $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Das Nullelement für die Addition ist für a -a. Das Einselement für die Addition ist die 0. Stimmt das soweit?

01.11.2012, 16:39

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Phriction
Das Nullelement der Multiplikation ist ja die 0.

zur Multiplikation gibt es kein "Nullelement". Der Begriff "Nullelement" ist auch nicht gebräuchlich. Ich nehme an, du meinst das 1-Element in Bezug auf die additive Gruppenstruktur deines Funktionenraums. Was ist hier diese 0, welche Funktion?

Zitat:

Das Einselement ist die 1.

aber was ist denn genau die 1 in deinem Fall? Es muss ja eine Funktion sein. Da es sich aber bei deinem Funktionenraum nicht um eine multplikative Gruppe handelt (was von dir immer noch zu begründen ist), ist erstmal zu klären, ob es überhaupt ein multiplikatives Einselement gibt.

Zitat:

Das inverse Element für a gibt es nur, wenn $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

das ist im Prinzip richtig, aber nicht alles. (Meinst du mit a jetzt nur einen reellen Wert oder ein Element deines Funktionenraums? Nimm besser nicht a, denn das hat ja in der Aufgabe schon eine bestimmte Bedeutung.) Es gibt für einen Haufen Elemente deiner Menge kein Inverses, nicht nur für das 0-Element.

Zitat:

Das Nullelement für die Addition ist für a -a. Das Einselement für die Addition ist die 0.

ja, wenn du mit Einselement in diesem Fall dasjenige der additiven Gruppe meinst. Welche Funktion repräsentiert diese 0?

Gruß
Peter

01.11.2012, 17:07

Phriction

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Es fällt mir sehr schwer, mir das ganze mit Funktionen vorzustellen und nicht mit reellen Werten. Zum Beispiel welche Funktion jetzt die Null repräsentiert. Ich denke mir dann, es gibt ja viele Funktionen die den Wert 0 annehmen können.
Und was ist jetzt der Unterschied zwischen einem Funktionenraum und einer multiplikativen Gruppe?
Umso mehr ich über die Aufgabe nachdenke, umso mehr verwirrt mich das ganze irgendwie x)

01.11.2012, 17:17

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Phriction
Es fällt mir sehr schwer, mir das ganze mit Funktionen vorzustellen und nicht mit reellen Werten. Zum Beispiel welche Funktion jetzt die Null repräsentiert. Ich denke mir dann, es gibt ja viele Funktionen die den Wert 0 annehmen können.
Und was ist jetzt der Unterschied zwischen einem Funktionenraum und einer multiplikativen Gruppe?
Umso mehr ich über die Aufgabe nachdenke, umso mehr verwirrt mich das ganze irgendwie x)

Es gibt viele Funktionen, die irgendwo den Wert 0 annehmen. Dies ist jedoch kein ausreichendes Kriterium für die 0.

Ich nenne dir mal die 0, also das "Einselement" der additiven Gruppe. Es ist die Funktion, die konstant 0 ist auf dem Intervall [a,b].

In Bezug auf die Multiplikation gibt es tatsächlich ein Einselement, es die Funktion, die konstant 1 ist auf dem Intervall. Überleg dir, warum diese beiden Funktionen diese Eigenschaften haben.

Gruß
Peter

01.11.2012, 19:53

RavenOnJ

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scheint ja jetzt alles klar zu sein

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