Ebenenschar/Schnittpunkt mit Gerade

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01.11.2012, 15:36	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenenschar/Schnittpunkt mit Gerade Meine Frage: Hey, ich übe grade Mathe und bin an folgender Aufgabe hängen geblieben: Zeigen Sie, dass jede Ebene der Schar die Gerade RS enthält. $\begin{eqnarray} E_{r} :\begin{pmatrix} 1 \\ r \\ 1 \end{pmatrix}\vec{x} =2r+4 \end{eqnarray}$ R(0\|2\|4) uns S(4\|2\|0) Meine Ideen: Aus den Punkten R&S habe ich erstmal eine Geradengleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich dachte in einem nächsten Schritt setzte ich die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein: $\begin{eqnarray} E_{r} :\begin{pmatrix} 1 \\ r \\ 1 \end{pmatrix}[\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}] =2r+4 \end{eqnarray}$ Ich hab jetzt allerdings keine Ahnung wie ich weiter rechnen muss... kann mir jemand einen Tipp geben?
01.11.2012, 15:44	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sollte das Ganze auch richtig in den Taschenrechner eingeben wenn ich den Teil mit den Vektoren zusammenfesse und das Skalarprodukt bilde, dann kommt dafür raus 2r+4 Meine Gleichung lautet somit: $\begin{eqnarray} 2r+4=2r+4 \end{eqnarray}$ Fasst man das weier zusammen kommt man am ende auf 0=0 Aber, warum ist null=null nochmal der Beweis dafür, dass die Gerade in jeder Ebene der Ebenenschar liegt?
01.11.2012, 15:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet, dass unabhängig von t immer eine wahre Aussage entsteht und somit Gerade und Ebene unendlich viele Punkte gemeinsam haben, wodurch die Gerade in jeder Ebene der Schar liegen muss.
01.11.2012, 15:52	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
danke
01.11.2012, 15:57	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
noch kurz, wenn ichden Parameter r jetzt bestimmen soll, dann nehme ich einen Punkt der gegebenen Ebene der Ebenenschar und setze ihn für Vektor x ein, oder?
01.11.2012, 15:59	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Fragestellung lautet, dass du r so bestimmen sollst, dass ein bestimmter Punkt in der Ebene liegen soll, dann wäre das korrekt.
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01.11.2012, 16:01	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
ne, die lautet nicht ganz so. Ich habe 1 Ebene der Schar gegeben und soll jetzt den Parameter herausfinden.
01.11.2012, 16:06	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wenn schon vorausgesetzt ist, dass diese Ebene auch eine aus der Schar sein soll, dann reicht es in der Tat sich einfach einen Punkt der Ebene zu nehmen und dessen Koordinaten dann in den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ einzusetzen. Wäre das nicht ausdrücklich gesagt, dann müsste man anders verfahren.
01.11.2012, 16:12	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
das wird in der Aufgabenstellung so gesagt. Wenn ich jetzt noch ne frage habe, soll ich die hier stellen oder einen neuen theard aufmachen?
01.11.2012, 16:13	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es auch noch mit derselben Ebenenschar zu tun hat, kannst du es ruhig hier nachfagen. Ansonsten würd ich nen neuen Thread starten.
01.11.2012, 16:19	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
ist die gleiche Ebenenschar. Es gibt eine Ebene F, die auch die Gerade RS enthält aber nicht zur Ebenenschar gehört. Begründen sie diesen Sachverhalt und bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F. Ich habe die Gerade RS die ganze Zeit als eine Art Rotationsache angesehen, um die die ganzen Ebenen der Schar rotieren. Demnach ist jede Ebene, die die Gerade RS enthält auch eine Ebene der Schar. Eben habe ich ja auch bewiesen, dass jede Ebene der Schar die Gerade RS enthält. Wie kann es dann diese ebene F geben?
01.11.2012, 17:08	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege dir dazu vielleicht mal welche Punkte der Schar eben nicht getroffen werden. Dazu könnte es auch hilfreich sein die Schar kurz in Koordinatenform zu schreiben. Hast du einen solchen Punkt P gefunden, dann würde es sich anbieten eine Parametergleichung zu F durch R,S und P aufzustellen. Wobei auch die Koordinatenform von F recht deutlich wird, wenn du dann mal genau auf die Koordinaten der Punkte R,S und P schaust.
01.11.2012, 17:28	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, also ich komme nicht wirklich weiter. Mir ist in der zwischenzeit nur aufgefallen, dass alle meine gegebenen Punkte nur die koordinaten 0 2 und 4 haben. hat das was damit zu tun? bei der gegebenen Gleichung weiß ich nicht wie das mit dem umformin in eine koordinatendor gehen soll, weil bisher nur ebenen mit formen dieser geichung umgeformt habe: $\begin{eqnarray} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
01.11.2012, 17:39	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur eine dieser Koordinaten verrät einem später etwas bestimmtes. Versuche doch zunächst mal hierauf einzugehen: In Koordinatenform lautet die Schar ja $\begin{eqnarray} E_r: x+ry+z=2r+4 \end{eqnarray}$ Überlege nochmal genau was man für x,y und z einsetzen muss, damit diese Gleichung zu einer falschen Aussage führt, sprich welche Punkte damit also definitiv nicht in dieser Schar liegen können.
01.11.2012, 17:58	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
egal welche pukte ich ausprobiere, es kommt für die gleichung immer r=... oder true raus. (0\|0\|0) ist es nicht, da kommt für r=-2 raus (4\|4\|4) ist es auch nicht, da kommt auch r=-2 raus die Punkte r und s können es auch nicht sein
01.11.2012, 18:04	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Orientiere dich an der y-Koordinate. Was muss man denn für y einsetzen, so dass man gar nicht erst nach r auflösen kann ?

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