1 Kugel in 4 Urnen

02.11.2012, 10:37

Maufine

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1 Kugel in 4 Urnen

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe, bei der mir der Ansatz fehlt:

In einer von 4 Urnen soll sich eine Kugel befinden. Die Wahrscheinlichkeit, dass in den 4 Urnen eine Kugel enthalten ist, liegt bei 0,7. Es soll nacheinander gezogen werden.

Beim Ziehen stellt man fest, dass in den ersten 3 Urnen keine Kugel enthalten ist. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in der 4. Urne enthalten ist?

Könnten ihr mir hier bitte auch die Sprünge helfen?

Vielen Dank!

02.11.2012, 10:58

HAL 9000

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Das geht so ähnlich wie hier.

02.11.2012, 18:14

chris_78

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Stimmt die Problemstellung ist ähnlich, da stimme ich mit Hal überein. Was aber die Lösung angeht sehe ich das ein wenig anders als Hal.

Wenn ich sage, dass mit 70% Wahrscheinlichkeit (genau) eine Kugel in einer der Urnen ist, dann ändert es doch nichts wieviele Urnen ich schon überprüft habe.
Beim 1. Zug verteilen sich die 70% auf die 4 Urnen. Die Wahrscheinlichkeit im 1. Zug die Kugel zu ziehen ist also 0,7*0,25.
Beim 2. Zug ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in einer der Urnen ist doch immer noch 70%, nur teilen die sich nur noch auf 3 Urnen auf, also 0,7*1/3. Im 4. Zug gibt es nichts mehr aufzuteilen, denn sie kann nur noch in Urne 4 liegen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist dann eben 0,7.

02.11.2012, 18:36

HAL 9000

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@chris_78

Vielleicht hilft ja das vereinfachte Beispiel von Gastmathematiker im verlinkten Thread, deinen schon missionarisch vorgetragenen Irrglauben zu revidieren. Ich kann es dir nicht mal übel nehmen, wenn ich so dran denke, wie viele gute Leute z.B. am Ziegenproblem gescheitert sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich übertrage mal deine Argumentation auf ein anderes Beispiel:

Beim 10-maligen Werfen einer ungezinkten Münze hat man mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{2^{10}}\approx 99.9% \end{eqnarray*}$ mindestens einmal Kopf. Wenn man nun 9-mal geworfen hat und dabei stets Zahl erreicht hat, dann müsste man gemäß deiner Argumentation im zehnten Versuch mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 99.9% \end{eqnarray*}$ Kopf werfen... Big Laugh

Big Laugh

02.11.2012, 19:53

Dopap

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@chris_78:
ich denke du liest die Aufgabe falsch, nämlich:

Jede der 4 Urnen enthält mit 70% eine Kugel.

02.11.2012, 20:05

HAL 9000

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Das denke ich nicht - zu viele Formulierungen der Aufgabenstellung widersprechen dieser fragwürdigen Interpretation:

Zitat:

Original von Maufine
In einer von 4 Urnen soll sich eine Kugel befinden. Die Wahrscheinlichkeit, dass in den 4 Urnen eine Kugel enthalten ist, liegt bei 0,7. Es soll nacheinander gezogen werden.

Beim Ziehen stellt man fest, dass in den ersten 3 Urnen keine Kugel enthalten ist. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in der 4. Urne enthalten ist?

Natürlich ist einer hier auch ziemlich ungenau. Denn wenn die Wkt nur 0,7 sein soll, dann sollte es hier besser maximal einer heißen.

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02.11.2012, 20:12

chris_78

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@dopap: Glaube ich nicht. das ist finde ich recht eindeutig nicht gemeint und Hal sieht das ja auch so. Was das Verständnis der Aufgabenstellung anging waren wir uns ja einig.

@Hal: "missionarisch vorgetragenen Irrglauben" das klingt ja so als ob ich hier jemanden bekehren will und beratungsresistent bin. Hättest Du mal auch ein so einleuchtentes Beispiel wie der Gastmathematiker gebracht, hätte ich Dir sofort zugestimmt :-)

Im Übrigen bezweifle ich, dass die Notation $\begin{eqnarray*} P(B \bigm| A^c) \end{eqnarray*}$ den meisten Schülern so vertraut ist, dass sie Deine Ausführungen überhaupt nachvollziehen konnten. Kein Wunder, dass da meine plausibler erschienen Big Laugh

Big Laugh

02.11.2012, 20:29

Math1986

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Zitat:

Original von chris_78

Im Übrigen bezweifle ich, dass die Notation $\begin{eqnarray*} P(B \bigm| A^c) \end{eqnarray*}$ den meisten Schülern so vertraut ist, dass sie Deine Ausführungen überhaupt nachvollziehen konnten.

Ernsthaft? verwirrt

verwirrt

Man kann die Notation $\begin{eqnarray*} P(B \bigm| A^c) \end{eqnarray*}$ durchaus verstehen. Man muss nur 1) das Komplement kennen und 2) etwas mit bedingten Wahrscheinlichkeiten anfangen können. Mehr ist das ja nicht?

02.11.2012, 20:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von chris_78
@Hal: "missionarisch vorgetragenen Irrglauben" das klingt ja so als ob ich hier jemanden bekehren will und beratungsresistent bin.

Letzteres ja nun glücklicherweise nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von chris_78
Kein Wunder, dass da meine plausibler erschienen Big Laugh

Big Laugh

Ja, dem Rattenfänger von Hameln sind auch viele nachgelaufen. Big Laugh

Big Laugh

Ich geb ja zu, dass meine Überzeugungskraft auf Gymnasialniveau nicht die nötige didaktische Durchschlagskraft hat.

P.S.: Im übrigen: Es gibt keine Anhaltspunkte dafür, was KDK21 im andren Thread von meiner Lösung gehalten hat - da er (mit der falschen Lösung zufrieden) wohl nicht wieder im Thread aufgetaucht ist...

02.11.2012, 21:46

chris_78

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Zitat:

Original von Math1986
Man kann die Notation $\begin{eqnarray*} P(B \bigm| A^c) \end{eqnarray*}$ durchaus verstehen. Man muss nur 1) das Komplement kennen und 2) etwas mit bedingten Wahrscheinlichkeiten anfangen können. Mehr ist das ja nicht?

Ich bezog mich da vor allem auf das Komplement $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ . Ich wette ein Großteil der Schüler fragt sich da eher warum da nun A mit c potenziert wurde (zumal es ja auch ein P(C) gab) und weiß nicht was da gemeint war.

02.11.2012, 22:03

HAL 9000

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Du kannst ruhig noch ein wenig weiter kritisieren, wie schlecht die Symbolik ist, wie schlecht ich das ganze erklärt habe und so weiter, und so fort ... Hauptsache, du lenkst davon ab, dass du einen Fragesteller hier schlecht beraten hast. Teufel

Teufel

P.S.: Die Verwechslungsgefahr mit einer Potenz ist hier bei $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ nun ja .. äußerst begrenzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2012, 22:48

Math1986

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Zitat:

Original von chris_78

Zitat:

Original von Math1986
Man kann die Notation $\begin{eqnarray*} P(B \bigm| A^c) \end{eqnarray*}$ durchaus verstehen. Man muss nur 1) das Komplement kennen und 2) etwas mit bedingten Wahrscheinlichkeiten anfangen können. Mehr ist das ja nicht?

Ich bezog mich da vor allem auf das Komplement $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ . Ich wette ein Großteil der Schüler fragt sich da eher warum da nun A mit c potenziert wurde (zumal es ja auch ein P(C) gab) und weiß nicht was da gemeint war.

Na, das sind nunmal die elementaren Grundlagen der Stochastik. Bei diesen kann man schon davon ausgehen, dass der Lehrer diese im Unterricht erklärt hat und diese auch als bekannt voraussetzen. Wenn nicht, dann kommt halt eine Nachfrage des Fragestellers und dann erklärt man das halt. Es ist aber nicht dem Erklärer anzulasten, wenn es dem Fragesteller an Grundlagen mangelt.

Anderenfalls könnte ich, wenn ich selbst die elementarsten Grundlagen der Schulmathematik als nicht bekannt voraussetze, so ziemlich jede gute Erklärung kritisieren.

PS: Diese notation hat HAL9000 ja nicht selbst eingeführt, das ist durchaus eine gängige Notation. Erklär diese Verwechselungsgefahr (die wohl nur du siehst) demjenigen, der diese eingeführt hat.

02.11.2012, 23:53

Dopap

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für die Complementmenge gibt es bestimmt in Latex noch ein schöneres, eigenes Symbol ( welches ? )
hier ist eben evtl. das "Problem" , dass $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ eines der drei Mengen ist.

auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist so ein Fall, den man im Kontext lesen muss, und falls tatsächlich das gewöhnliche Inverse gemeint sein sollte, schreibt bestimmt jeder $\begin{eqnarray*} \frac 1 {f(x)} \end{eqnarray*}$

Andererseits: mein TR verlangt 100% Klarheit über die Symbole, und das gefällt mir.

03.11.2012, 00:10

Mystic

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Das ist eine sehr hübsche und auch lehrreiche Aufgabe und es wäre schade, wenn daas Ganze jetzt in kleinlichem Gezänk endet...Natürlich war HAL's Lösung von Anfang an richtig, aber auch chris' Beiträge waren in meinen Augen durchaus konstruktiv (von dem hochgestellten c mal abgesehen)... Und ja, es ist erlaubt sich hier zu irren, zumal auch ein erstklassiger Mathematiker wie Erdös sich bekanntlich beim Original-Ziegenproblem unsterblich blamiert hat... Big Laugh

Big Laugh

Wenn man übrigens die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer der 4 Urnen eine Kugel befindet geringfügig vermindert, nämlich auf 2/3, dann könnte man die Aufgabe auch etwas anders formulieren, was vielleicht neue Einsichten vermittelt.

Denken wir uns dazu ein Gewinnspiel, bei dem der Kandidat den Gewinn bekommt, wenn er aus insgesamt 6 Urnen, wovon in genau einer die Kugel liegt, die Urne mit der Kugel richtig errät. Dazu bekommt er die Chance vorab 4 Urnen auszuwählen und darf diese dann der reihe nach öffnen, um nachzusehen, ob eine davon die Kugel enthält. Seine Gewinnchancen sind nun

1. A priori 2/3=0.666...
2. Nach der ersten Niete nur mehr 3/5=0.6
3. Nach der zweiten Niete nur mehr 1/2 =0.5
4. Nach der dritten Niete nur mehr 1/3=0.333...
5. Nach der vierten Niete dann natürlich 0...

d.h., sie verringern sich bei jeder Niete und nach 3 Nieten haben sie sich sogar halbiert...Im Gegensatz dazu ist chris 78, wenn ich ihn richtig verstanden habe, ursprünglich davon ausgegangen, dass die Gewinnchancen mit jeder Niete gleichbleiben, wie zu Beginn, also immer bei 2/3 liegen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Dopap hat mich darauf aufmerksam gemacht (danke!), dass ich in der ersten Version vergaß zu erwähnen, dass es insgeamt 6 Urnen sind aus denen der Kandidat dann 4 auswählt...

03.11.2012, 00:43

Dopap

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dumme Frage: wenn es 4 Urnen gibt, wieso muss der Kanditat dann 4 Urnen auswählen verwirrt

verwirrt

edit: sehr sehr sehr tröstlich das mit Erdös Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2012, 09:47

Mystic

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@Dopap

Danke für den Hinweis, hab das oben nun berichtigt... Freude

Freude

Ja, was die Sache mit Erdös betrifft, sieht man ganz klar, dass auch ausgesprochene Profis hin und wieder dumme Fehler machen, der Unterschied besteht jetzt eher darin, wie sie damit umgehen, insbesondere dass sie den gleichen Fehler kein zweites Mal machen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2012, 10:46

chris_78

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Zitat:

Original von Math1986
PS: Diese notation hat HAL9000 ja nicht selbst eingeführt, das ist durchaus eine gängige Notation. Erklär diese Verwechselungsgefahr (die wohl nur du siehst) demjenigen, der diese eingeführt hat.

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Die Verwechslungsgefahr mit einer Potenz ist hier bei $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ nun ja .. äußerst begrenzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Natürlich hat die Hal nicht selber eingeführt, nur taucht diese Notation, meines Erachtens eher nicht auf, stattdessen wird $\begin{eqnarray*} \overline {A} \end{eqnarray*}$ genutzt.
Mag sein, dass ich mich da auch täusche, aber ich glaube ein gutes Gespür zu haben welche Fehler Schüler so fabrizieren und wenn es für P(A) und P(C) Werte gibt und sie dann $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ sehen, liegt es nicht so fern, dass da einfach eine Potenz gesehen wird in die man einsetzt, denn das haben die meisten Schüler gelernt: Immer erstmal alles einsetzten in eine Formel.

03.11.2012, 10:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von chris_78
nur taucht diese Notation, meines Erachtens eher nicht auf, stattdessen wird $\begin{eqnarray*} \overline {A} \end{eqnarray*}$

"Dein Erachten" ist nicht der Gradmesser für alle Welt. Natürlich ist mir auch diese Schreibweise vertraut, allerdings wird sie in der Topologie auch für abgeschlossene Hülle einer Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verwendet - da liegt meiner Meinung nach die echte Verwechslungsgefahr, denn das kann man nun wirklich auch z.B. auf Borelmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ anwenden. Deswegen bevorzuge ich und auch viele andere die Schreibweise $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ .

03.11.2012, 15:46

andyrue

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vielen dank für diese einleuchtende und hilfreiche betrachtung des problems,
andy

Zitat:

Original von Mystic
Das ist eine sehr hübsche und auch lehrreiche Aufgabe und es wäre schade, wenn daas Ganze jetzt in kleinlichem Gezänk endet...
..
1. A priori 2/3=0.666...
2. Nach der ersten Niete nur mehr 3/5=0.6
3. Nach der zweiten Niete nur mehr 1/2 =0.5
4. Nach der dritten Niete nur mehr 1/3=0.333...
5. Nach der vierten Niete dann natürlich 0...
..

03.11.2012, 19:39

Math1986

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Zitat:

Original von chris_78

Zitat:

Original von Math1986
PS: Diese notation hat HAL9000 ja nicht selbst eingeführt, das ist durchaus eine gängige Notation. Erklär diese Verwechselungsgefahr (die wohl nur du siehst) demjenigen, der diese eingeführt hat.

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Die Verwechslungsgefahr mit einer Potenz ist hier bei $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ nun ja .. äußerst begrenzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Natürlich hat die Hal nicht selber eingeführt, nur taucht diese Notation, meines Erachtens eher nicht auf, stattdessen wird $\begin{eqnarray*} \overline {A} \end{eqnarray*}$ genutzt.
Mag sein, dass ich mich da auch täusche, aber ich glaube ein gutes Gespür zu haben welche Fehler Schüler so fabrizieren und wenn es für P(A) und P(C) Werte gibt und sie dann $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ sehen, liegt es nicht so fern, dass da einfach eine Potenz gesehen wird in die man einsetzt, denn das haben die meisten Schüler gelernt: Immer erstmal alles einsetzten in eine Formel.

Nö, die Notation $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ ist durchaus gebräuchlich, ich nutze das aus dem von HAL angesprochenen Grund meist auch.

Deiner Argumentation folgend könnte ich jetzt auch behaupten, dass die Notation $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ ungeschickt ist, weil Schüler das mit der Konjugation komplexer Zahlen verwechseln könnten. Wenn du hier also schon irgendwelche Notationen heranbringst, die mit dem Kontext nun wirklich nichts zu tun haben, dann muss man auch die komplexe Konjugation betrachten.

03.11.2012, 21:17

Dopap

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Ich habe einfach mal

code:
1:	\complement A

probiert, und es funktioniert !

$\begin{eqnarray*} \complement A \end{eqnarray*}$

03.11.2012, 21:37

Math1986

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Zitat:

Original von Dopap
probiert, und es funktioniert !

$\begin{eqnarray*} \complement A \end{eqnarray*}$

Ja, das kenne ich auch, ist aber im Vergleich doch sehr in der Minderheit. Die Symbole in Latex sind auch nicht in jedem Fall die verbindliche Richtschnur.

04.11.2012, 05:13

chris_78

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Zitat:

Original von HAL 9000
Natürlich ist mir auch diese Schreibweise vertraut,

daran habe ich auch nicht gezweifelt

Zitat:

Original von HAL 9000
allerdings wird sie in der Topologie auch für abgeschlossene Hülle einer Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verwendet - da liegt meiner Meinung nach die echte Verwechslungsgefahr, denn das kann man nun wirklich auch z.B. auf Borelmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ anwenden.

ich glaube kaum, dass bei Schülern diesbezüglich Verwechslungsgefahr besteht

Zitat:

Original von Math1986
Deiner Argumentation folgend könnte ich jetzt auch behaupten, dass die Notation $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ ungeschickt ist, weil Schüler das mit der Konjugation komplexer Zahlen verwechseln könnten.

Komplexe Zahlen in der Schule sind doch wohl eher die Ausnahme oder? Stehen die überhaupt in irgendeinem Bundesland auf dem Lehrplan?

Ich wollte auch nur einen Hinweis geben, dass vielleicht bei einem Schüler da ein Problem mit der Notation liegen kann (in Niedersachsen z.B. wird meine ich nur $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ im Schulbuch verwendet, aber ich recherchiere das nochmal).
Nun ihr seht das offensichtlich anders, soll mir auch recht sein.

04.11.2012, 06:05

Dopap

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@chris_78 : ja, das führt nicht weiter. Du lenkst nur vom Ursprung ab:
Du hast eben Bock gebaut.
Aber es hat hier am Board noch niemanden bisher geschadet, dass er mal daneben lag.

Es gibt auch zur Not einen Button: Hammer

Hammer

Das ist ein Stück Weg zur Selbstfindung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir alle mussten den Button ehrlicherweise schon mindestens 1 mal einsetzten.

GRÜSSE
Dopap

09.12.2012, 00:40

andyrue

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ich habe die urnenaufgabe nun mal durchgerechnet und bin auf die lösung
P(kugel ist in der 4. urne) = 7/12 gekommen, ist das richtig?

als rechenweg habe ich die methode der bedingten wahrscheinlichkeit, wie im verlinkten thread beschrieben, gewählt,

andy

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