Komplexe Gleichung

02.11.2012, 16:18

Mixer007

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Komplexe Gleichung

Hallo,

ich sitz hier gerad vor einer Aufgabe, von der ich die Lösung hab, aber ich kann einach nicht nachvollziehen, wie sie entstanden ist.

Und zwar soll man alle Lösungen zu dieser komplexen Gleichung hier berechnen :

(z+i)^3 = 8

also komplexe Lösungen:

ich geh nun so vor, dass ich die Gleichung mit der Formel auflöse:

cos (pi /4 /3 + 2 *x *pi/3) +i\sin(pi /4 /3 + 2 *x*pi/3)\ = 8
dies kann man ja auch anders schreiben

cos(pi/12 + 2xpi /3) +isin(pi/12 + 2xpi /3) = 8

Das blöde ist, dass ich immer auf andere Ergebnisse komme:

die Lösungen sollten sein:

$\begin{eqnarray*} Z_1= -2-i<br /> Z_2= 1+ (\sqrt{3} -1)<br /> Z_3= 1( \sqrt{3} +1) \end{eqnarray*}$

aber ich krieg was völlig anderes ? Kann mir jemand helfen?
PS: ich habe versucht cos und sin einzugeben, aber irgendwie ohne erfolg, wär schön wenn mir das jemand zeigt?

02.11.2012, 19:16

Dopap

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zuerst solltest du mal schauen, dass die "Lösungen" auch stimmen.

03.11.2012, 09:38

Mixer007

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oh ja sry die Lösung stimmten nicht:

$\begin{eqnarray*} Z_3= 1+ ( \sqrt{3}-1) i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_2= 1 - ( \sqrt{3} +1)i \end{eqnarray*}$

hab mich leider verschrieben, aber die erste stimmt ich weiß nur nicht wie man da drauf kommt?

03.11.2012, 12:49

RavenOnJ

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überleg dir mal, welche Lösungen die Gleichung
$\begin{eqnarray*} z = 8^{1/3} \end{eqnarray*}$
haben kann.

Gruß
Peter

03.11.2012, 16:59

Mixer007

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die hat doch drei Lösungen, ich verstehe nicht auf was du herauswillst?

03.11.2012, 17:24

Mixer007

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oder meinst du , dass die Lösung 2 ist?

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03.11.2012, 17:32

Mixer007

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un sry nochmal, es müsste heißen,

$\begin{eqnarray*} ( z+i) ^3 = -8 \end{eqnarray*}$ ....

dann stimmen die Lösungen, aber ich komm trotzdem nicht daruf wie das geht.

Ich komme jetzt auf die erste Lösung und zwar wenn Die dritte Wurzel zieht bleibt nur noch übrig :

z+i= -2 woraus dann z= -2-i komm

aber die restlichen weiß ich net wie man die bestimmt

03.11.2012, 17:55

RavenOnJ

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zwischen 8 und -8 gibt es keinen wesentlichen Unterschied, was die Lösungmethode angeht. Dann zieh halt die 3. Wurzel aus -8. Warum kommst du nicht weiter? Die 3. Wurzel aus -8 hat im Komplexen drei Lösungen, nicht nur die -2.

Gruß
Peter

03.11.2012, 20:03

Mixer007

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ja genau das hab ich ja auch schon versucht, bekomme aber andere Ergebnisse als in den Lösungen drin steht.

03.11.2012, 21:21

RavenOnJ

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ok, dann helf ich dir mal auf die Sprünge.
$\begin{eqnarray*} \left(1+i\sqrt{3}\right)^3= 1 + i3\sqrt{3}-9-i3\sqrt{3}=-8 \end{eqnarray*}$
Dazu kommen noch zwei Lösungen. Man hat also als erste Lösung für z
$\begin{eqnarray*} z+i = 1+i\sqrt{3}\Rightarrow z = 1+i(\sqrt{3}-1) \end{eqnarray*}$

Den Rest kannst du machen.

Gruß
Peter

06.11.2012, 21:01

Mixer007

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ich verstehe das nicht unglücklich

unglücklich

ich kann nicht nachvollziehen, wie du einfach so auf die Lösung kommst. Ich möchte halt gern wissen, wie man da allgemein vorgeht.
Es ist mir schon klar, dass wenn man die Lösung potenziert, dann das richtige rauskommt, aber wie geht man da vor? schreibt man alles in Polarform oder Exponentialform oder wie? Und dann ?

07.11.2012, 00:20

RavenOnJ

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Ich habe den Eindruck, es fehlt dir an ganz grundlegendem Wissen über die komplexen Zahlen.

Ich hoffe, du kennst die Darstellung der komplexen Zahlen in der sogenannten komplexen Zahlenebene, die vom Realteil als der einen Koordinate und dem Imaginärteil als der anderen Koordinate aufgespannt wird.

Einerseits kann man eine komplexe Zahl $\begin{align*} z_i \end{align*}$ in der Form $\begin{align*} z_i=x_i+iy_i \text{ mit }x_i,y_i\in \mathbb{R} \end{align*}$ schreiben. Es gibt andererseits noch die Schreibweise in Polarform $\begin{align*} z_i =|z_i|\cdot e^{i\alpha_i} , \alpha_i \in \mathbb{R} \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} |z_i| = \sqrt{x^2+y^2} \end{align*}$ der Betrag von $\begin{align*} z_i \end{align*}$ ist, während $\begin{align*} \alpha_i \end{align*}$ der Winkel (im Bogenmaß) von der reellen Achse bis zu der gedachten Gerade ist, die durch 0 und $\begin{align*} z_i \end{align*}$ geht bzw bis zu dem "Vektor", der für $\begin{align*} z_i \end{align*}$ stehen soll. (man kann sich eine komplexe Zahl auch erstmal als einen 2-dimensionalen "Vektor" mit einer Richtung und einer Länge vorstellen. Diese Analogie sollte man aber nicht zu weit treiben, sie funktioniert noch für die Addition zweier komplexer Zahlen, aber nicht mehr für die Multiplikation, deren Ergebnis mit der Multplikation zweier Vektoren nichts zu tun hat.).

Vielleicht solltest du dir dann klar machen, wie die Addition und die Multiplikation im Komplexen erfolgt. Die Addition zweier komplexer Zahlen kann man sich wie die Addition zweier Vektoren in einer Ebene vorstellen.

Für die Vorstellung, welches Ergebnis die Multiplikation zweier komplexer Zahlen hat, ist die Polarform geeigneter, da sie mathematisch eingängiger ist. Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polarform ist gegeben durch $\begin{align*} z_1\cdot z_2 = |z_1|e^{i\alpha_1}\cdot|z_2|e^{i\alpha_2} = |z_1||z_2|e^{i(\alpha_1+\alpha_2)}\cdot \end{align*}$ . Das Resultat ist also ein "Vektor", der aus $\begin{align*} z_1 \end{align*}$ durch Drehung um den Winkel $\begin{align*} \alpha_2 \end{align*}$ und gleichzeitiger Streckung um den Faktor $\begin{align*} |z_2| \end{align*}$ hervorgeht.

Vielleicht kannst du dir jetzt vorstellen, wie die Potenzierung einer komplexen Zahl in der komplexen Zahlenebene aussieht.

Gruß
Peter

07.11.2012, 22:21

Mixer007

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ja das ist mir ja jetzt schon klar geworden, aber wie ziehe ich denn jetzt die Wurzel, um auf die bekannte Lösungen zu kommen. Mein Problem ist nicht, dass ich nicht weiß, wie man das ausrechnet, sondern wenn ich das ausrechne, bekomme ich einfach falsche Lösungen Big Laugh

Big Laugh

07.11.2012, 23:05

Dopap

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manchmal hat schon die Umstellung des TR auf Modus : RAD geholfen.
War es das?

08.11.2012, 00:48

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mixer007
ja das ist mir ja jetzt schon klar geworden, aber wie ziehe ich denn jetzt die Wurzel, um auf die bekannte Lösungen zu kommen. Mein Problem ist nicht, dass ich nicht weiß, wie man das ausrechnet, sondern wenn ich das ausrechne, bekomme ich einfach falsche Lösungen Big Laugh

Big Laugh

An deiner Rechenschwäche kann ich nichts ändern, kann dir dazu auch keine Tipps geben. unglücklich

unglücklich

Ich kann dir aber hoffentlich etwas Intuition für die Lösungsmenge nahebringen:
Bei der 3. Wurzel aus $\begin{align*} z=|z|e^{i\alpha} \end{align*}$ liegen die Lösungen an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der 0 als Schwerpunkt. Ihr Betrag ist $\begin{align*} \sqrt[3]{|z|} \end{align*}$ . Ein Punkt liegt bei $\begin{align*} \sqrt[3]{|z|} e^{i\alpha/3} \end{align*}$ . Die anderen beiden relativ zum ersten im Winkel $\begin{align*} \pm 2\pi/3 \end{align*}$ .

Allgemein: bei der n-ten Wurzel liegen sie auf den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks mit 0 als Schwerpunkt. Analog dazu ist ihr Betrag $\begin{align*} \sqrt[n]{|z|} \end{align*}$ . Ein Punkt liegt bei $\begin{align*} \sqrt[n]{|z|} e^{i\alpha/n} \end{align*}$ . Wo die restlichen Punkte liegen, dazu solltest du jetzt eine Vorstellung haben.

Gruß
Peter

08.11.2012, 01:07

Dopap

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das finde ich sehr gut:
Eine Vorstellung vom Problem zu haben, ein gedankliches Bild...

sonst wäre Mathe ja nur ein Regelwerk zur Behandlung von Symbolen.

08.11.2012, 20:18

Mixer007

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also,

wenn ich das ganze jetzt versuch auszurechnen, bekomme ich :

(z+i) ^3= -8

-> cos( pi/12 +2l*pi/3) +isin( pi/12 +2*l*pi/3) = -8
-> jetzt setze ich für l= 0 ein

Z_1= cos( pi/12) +isin( pi/12)= -8 -> und genau da kommt was anderes raus, als in den Lösungen, nämlich

0,96 +i0,258i +8 ( ungefähre werte mit TR berechnet)

und das stimmt nicht verwirrt

verwirrt

an meiner Rechenschwäche liegts garantiert nicht Big Laugh

Big Laugh

haha und der Radian Mode ist auch eingestellt.
Denkfehler?? wo?

08.11.2012, 23:40

RavenOnJ

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Was auch immer TR ist, ein Rechenprogramm? Ist das der heutzutage übliche Weg, einfachste Gleichungen aufzulösen? Für mich grenzt sowas an Rechenschwäche, auch wenn du es anders siehst.

Ich hatte dir schon vor 5 Tagen empfohlen, dir mal die Lösungen von $\begin{align*} z^3 = -8 \end{align*}$ zu bestimmen. Ich hatte dir sogar eine der Lösungen präsentiert. Dann hatte ich dir gestern einen Weg gezeigt, wie du die anderen Lösungen findest. Mit Hilfe von ein wenig Geometrie sollte das eigentlich auch algebraisch kein Problem sein. Ich nenne diese Lösungen mal $\begin{align*} a_1,a_2,a_3 \end{align*}$ . Du bekommst also drei Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} <br /> (z_1+i)^3 = a_1^3<br /> (z_2+i)^3 = a_2^3<br /> (z_3+i)^3 = a_3^3<br /> \end{eqnarray*}$
Für die Lösungen brauchst du kein Programm, sondern nur Grundrechenarten und die Operation des Ziehens einer 3. Wurzel aus einer 3. Potenz, was eigentlich keine Schwierigkeiten bereiten sollte.

Gruß
Peter

10.11.2012, 11:02

Mixer007

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ja bei der ersten Lösung habe ich es ja begriffen,

dass man Z^3= -8 schreibt und dann die dritte Wurzel zieht, was ja dann auf (-8)^1/3 rauskommt, dann bekommt man als Lösung Z_1= -2 , also Z_1 = -2-i
damit das i dann in der potenz verschwindet. Aber die anderen Lösungen krieg ich nicht hin.

Ein TR(= Taschenrechner) und dient der Kontrolle.

Ist meine Herangehensweise eigentlich richtig? Also von dem vorherigen Post?

Ich steh trotzdem auf dem Schlauch, entweder es ist einfach zu leicht, weil ich etwas übersehe, oder ich bin einfach zu blöd.

Schau mal wenn ich dass bei anderen Aufgabe probiere, die fast gleich ist

( z-i) ^3 = -i

dann mach ich genau dasgleiche:

also Z= cos ( 3pi/2) + isin( 3pi/2)

=> Z= cos( pi/2 + 2kpi/3) +isin( pi/2 + 2kpi/3)

dann komme ich auf die richtigen lösungen wenn ich für k =0,1,2 ein setz

nämlich $\begin{eqnarray*} Z_1= 2i <br /> Z_2= i/2 - \sqrt {3}/2 ) <br /> und Z_3= i/2 + \sqrt{3} /2 \end{eqnarray*}$

aber wieso das ganze nicht für die obige gleichung geht, ist mier imme rnoch ein rätsel ? unglücklich

unglücklich

10.11.2012, 11:34

Mixer007

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ich glaub jetzt habs ich geschnallt Big Laugh

Big Laugh

Ich muss ja nur die Wurzeln von -8 ziehen

und dann so einsetzen

z+i= eine Lösung von -8

und dann nach z auflösen

Aber wie zieht man denn die drei Wurzeln aus -8 ?

bzw. wie schreibe ich das in Polarform, um auf die komplexen Lösungen zu kommen?

Das Argument kann ich ja nicht einfach so bilden, ist ja null, also den Winkel mein ich jetzt

10.11.2012, 12:02

Mixer007

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ok ich habs jetzt, bzw. ich hab nur eine Formel dafür gefunden,

diese lautet so, dass man für phi= pi einsetzt und dann die Wurzeln zieht:

also

z= r (cos (2kpi/3 +pi) + isin( pi+2kpi/3) ) )

wobei man für
r= 2 einsetzt

Meine Frage lautet jetzt nun, wie kommt darauf, bzw. wann darf man das eigentlich verwenden ? Wieso kann man für den Winkel einfach pi einsetzen?

10.11.2012, 12:18

herakles1323

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im komplexen rechnet man grundsätzlich im Bogenmaß smile

smile

10.11.2012, 23:18

Dopap

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die Zahl x=-8 hat die polare Darstellung:

$\begin{eqnarray*} x=8[\cos (\pi) +i\sin(\pi)] \end{eqnarray*}$ soweit klar?, dann geht es weiter:

dritte Wurzel, Hauptwert: $\begin{eqnarray*} x_1 = 2 [ \cos(\tfrac 13 \pi) +i\sin (\tfrac 13 \pi)] \end{eqnarray*}$

11.11.2012, 12:02

Mixer007

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jop es is mir jetzt alles kla, war zwar eine schwere geburt Big Laugh

Big Laugh

bin halt nicht der schlaueste, aber ich hab es Big Laugh

Big Laugh

Vielen Vielen Dank euch für eure Geduld Freude

Freude

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