Beweis mit Abbildung und Urbild

02.11.2012, 23:34

Mai

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis mit Abbildung und Urbild

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein wirklich großes Problem mit dieser Aufgabe, da ich die Behauptung, die ich beweisen soll, nicht verstehe. Hier erstmal die Aufgabenstellung:

Seien M,N Mengen und f: M -> N eine Abbildung. Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} B \subseteq N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right) \right)\subseteq N \end{eqnarray*}$ das Bild des Urbildes von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:
a)Es ist $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right) \right)\subseteq B \end{eqnarray*}$ , aber es gilt nicht $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ .
b)Zeigen Sie, dass in a) genau dann Gleichheit gilt, wenn f surjektiv ist.

Meine Ideen:
MEIN PROBLEM: Ich begreife einfach nicht, warum $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right) \right) \end{eqnarray*}$ in einigen Fällen "nur" eine Teilmenge von B sein soll, wenn es doch das Urbild von B darstellen soll. Wieso wird die Teilmenge B dann nicht immer wieder auf sich selbst abgebildet, sondern nur bei Surjektivität?

Ich hoffe sehr, dass ihr mir das erklären könnt (vielleicht mit einem Beispiel?), damit ich mir einen Ansatz für den Beweis überlegen kann. Sonst weiß ich wirklich nicht mehr weiter...

02.11.2012, 23:42

Causal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild
Guten Abend,

male dir doch mal eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf, die ein paar Zahlen enthält. Betrachte das Urbild und dann das Bild vom Urbild. Fällt dir was auf?

Gruß, Causal

03.11.2012, 13:58

Mai

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild
Danke für deine Antwort.

Ich glaub, ich hab's etwas besser verstanden: Es ist B={1,2,3} und A={1,2}. Wenn f und f^-1 injektiv sind, dann wird z.B. f^-1(1)=1, f^-1(2)=2 und f^-1(3)=leere Menge. Dann ist f(A)={1,2}, was eine Teilmenge von B={1,2,3} ist. Wenn f surjektiv ist, ergibt sich die Gleichheit. smile

smile

2 Fragen hätte ich noch zum Verständnis:
1.)Ist es eigentlich auch möglich, dass f^-1 surjektiv und f injektiv ist? Ich würde sagen nein, da es sich ja um das Urbild handelt. Dann muss es ja in beide Richtungen entweder surjektiv oder injektiv sein, oder?

2.)Wenn ich in a) zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right)\supseteq B \end{eqnarray*}$ allgemein nicht gilt, bedeutet das dann, dass ich ein Gegenbeispiel finden muss, also ein Beispiel, in dem B keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right) \end{eqnarray*}$ ist?

Wäre echt nett, wenn du mir das noch erklären könntest, dann kann ich mich an der Aufgabe versuchen.

Danke im Voraus. smile

smile

03.11.2012, 20:08

Causal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild
Guten Abend,

zu 1)

Ist das eine konkrete Frage zu deiner Aufgabe oder eine allgemeine Frage?
Wenn das eine allgemeine Frage war, dann schau mal bei wiki unter $\begin{eqnarray*} \text{Homöomorphismus} \end{eqnarray*}$ nach.

zu 2)

Ja richtig. Eine Aussage widerlegt man meistens mit einem Gegenbeispiel.

Gruß, Causal smile

smile

03.11.2012, 20:33

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild

Zitat:

1.)Ist es eigentlich auch möglich, dass f^-1 surjektiv und f injektiv ist? Ich würde sagen nein, da es sich ja um das Urbild handelt. Dann muss es ja in beide Richtungen entweder surjektiv oder injektiv sein, oder?

Vorsicht an dieser Stelle! $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ für eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine wohldefinierte Sache, aber $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert in der Regel nicht als Abbildung. Nur bei Bijektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ macht es Sinn, von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ als Abbildung zu reden.

Zitat:

2.)Wenn ich in a) zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right)\supseteq B \end{eqnarray*}$ allgemein nicht gilt, bedeutet das dann, dass ich ein Gegenbeispiel finden muss, also ein Beispiel, in dem B keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right) \end{eqnarray*}$ ist?

Ganz genau. Es sollte dir, wenn du in Ruhe auf die Aufgabe schaust, keinesfalls schwerfallen, ein Gegenbeispiel zu finden. Aufgabenteil b) sagt dir genau, wo du die findest.

04.11.2012, 03:00

Mai

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild:
Vielen Dank für eure Antworten!

@Causal: Zu 1) Ich hatte meine Frage auf mein Beispiel oben bezogen, da bin ich ja davon ausgegangen, dass f und f^-1 beide injektiv abbilden. Der Wikipedia-Eintrag hat dennoch etwas geholfen, auch wenn ich mit einigen Beispielen nicht ganz so viel anfangen konnte.

@Sly: Danke für den Tipp. Ich dachte eigentlich, ich würde zwischen Urbild und Umkehrabbildung unterscheiden, hab's dann aber doch vermischt, ohne es zu merken.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Ich hab mich jetzt mal an den Aufgaben versucht:

a) 1.)Sei $\begin{eqnarray*} y \in\ f\left(f^-1\left(B\right)\right) \Rightarrow \exists x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ mit y = f(x) $\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow \exists x \in\ M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\left(x\right) \in\ B \wedge f\left(x\right) = y \Rightarrow y \in\ B \end{eqnarray*}$

2.) Für die umgekehrte Richtung habe ich folgendes Gegenbeispiel:

M={1,2,3}, N={1,2,3,4} und ich nehme eine Funktion f: M ->N, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4.
Sei B={1,2}, dann ist f^-1(1) und f^-1(2)=1 und folglich f(f^-1(1))=2. Also ist B={1,2} keine Teilmenge von f(f^-1(B))={2} (sondern B ist die Obermenge).

Ist dieses Beispiel zulässig oder gilt es nicht, wenn B einfach die Obermenge von f(f^-1(B)) ist?

b)Sei f surjektiv und $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in\ M \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f\left(B\right)=B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=y \end{eqnarray*}$ gilt.
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right)=f\left(x\right)=y \in\ B \end{eqnarray*}$

Ich weiß, meine Ansätze sehen ziemlich mager aus (vor allem die b)...), aber ich sitze wirklich schon seit mehreren Stunden nur an dieser Aufgabe und mehr fällt mir einfach nicht ein. unglücklich

unglücklich

Für Tipps, Hilfestellungen oder Verbesserungsvorschläge wäre ich daher wirklich unglaublich dankbar.

Anzeige

04.11.2012, 11:10

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild:

Zitat:

2.) Für die umgekehrte Richtung habe ich folgendes Gegenbeispiel:

M={1,2,3}, N={1,2,3,4} und ich nehme eine Funktion f: M ->N, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4.
Sei B={1,2}, dann ist f^-1(1) und f^-1(2)=1 und folglich f(f^-1(1))=2. Also ist B={1,2} keine Teilmenge von f(f^-1(B))={2} (sondern B ist die Obermenge).

Ist dieses Beispiel zulässig oder gilt es nicht, wenn B einfach die Obermenge von f(f^-1(B)) ist?

Das Beispiel ist in Ordnung.

Zitat:

b)Sei f surjektiv und $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in\ M \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f\left(B\right)=B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=y \end{eqnarray*}$ gilt.

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} f(B)=B \end{eqnarray*}$ ergibt keinen Sinn. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegt in der Bildmenge. War aber vermutlich ein Tippfehler und du meintest $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ .

Versuche, dir das noch einmal elementweise zu überlegen. Wir haben ein $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist dann was...? Also was heißt $\begin{eqnarray*} y\in f(f^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ nochmal genau? Wie kann dir Surjektivität anschließend helfen?

04.11.2012, 12:21

Bl00D

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild:
RE: Beweis mit Abbildung und Urbild:
Zitat:
"2.) Für die umgekehrte Richtung habe ich folgendes Gegenbeispiel:

M={1,2,3}, N={1,2,3,4} und ich nehme eine Funktion f: M ->N, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4.
Sei B={1,2}, dann ist f^-1(1) und f^-1(2)=1 und folglich f(f^-1(1))=2. Also ist B={1,2} keine Teilmenge von f(f^-1(B))={2} (sondern B ist die Obermenge).

Ist dieses Beispiel zulässig oder gilt es nicht, wenn B einfach die Obermenge von f(f^-1(B)) ist?

Das Beispiel ist in Ordnung. "

Muss bei " und folglich f(f^-1(1))=2. " es nicht heißen f(f^-1(2))=2 ??? weil f(f^-1(1))={} ! Oder habe ich was falsch verstanden :S

04.11.2012, 14:39

Mai

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild:
@Bl00D: Ich habe bestimmt, dass f^-1(1)=1 und f^-1(2)=1 ist. Meine Funktion f bildet aber nur f(1)=2 ab. Definiert ist f(f^-1(1)) daher schon, ich gebe aber zu, dass mein Beispiel etwas ungenau formuliert ist, es war gestern einfach schon sehr spät...

@Sly: Ja, das war ein Tippfehler, es sollte natürlich Sei $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right) = B \end{eqnarray*}$ heißen (wie gesagt, es war gestern schon sehr spät... Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Ich hab meinen Ansatz jetzt nochmal überarbeitet:

Sei $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ , dann exisistiert ein $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right)=y \end{eqnarray*}$ . Da f surjektiv ist gilt $\begin{eqnarray*} \forall y \in\ N \exists x \in\ M: f(x)=y \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right) \subseteq B \subseteq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^-1\left(B\right) \subseteq M \end{eqnarray*}$ kann ich $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ einsetzen und habe meine Behauptung.

Sieht dieser Lösungsweg besser aus? Und inwiefern stimmt mein Beweis bei der a)?

Nochmals danke für die Hilfe, ich glaub so langsam versteh ich's. smile

smile

Gruß Mai

04.11.2012, 15:45

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@sly
Man kann doch sagen, dass alle Elemente $\begin{align*} n\in N \land n\notin im f \end{align*}$ als Urbild die leere Menge haben (im Gegensatz zu der Konstruktion von Mai, der willkürlich Elemente aus $\begin{align*} N \end{align*}$ , die nicht zu $\begin{align*} im f \end{align*}$ gehören, über $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ auf irgendwelche Elemente aus $\begin{align*} M \end{align*}$ abbildet.). Damit würde das Urbild von $\begin{align*} N \end{align*}$ aus der Definitionsmenge $\begin{align*} M \end{align*}$ von $\begin{align*} f \end{align*}$ und der leeren Menge bestehen. Da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist, wäre das wiederum $\begin{align*} M \end{align*}$ . Also
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(N)=M\cup\emptyset = M \end{eqnarray*}$
Dann würde gelten $\begin{align*} f(f^{-1}(N)) = im f \subseteq N \end{align*}$
Analoges gilt auch für alle $\begin{align*} B\subseteq N \end{align*}$ .

Gruß
Peter

04.11.2012, 15:55

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis mit Abbildung und Urbild:

Zitat:

Ich hab meinen Ansatz jetzt nochmal überarbeitet:

Sei $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ , dann exisistiert ein $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} y \in\ B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right)=y \end{eqnarray*}$ . Da f surjektiv ist gilt $\begin{eqnarray*} \forall y \in\ N \exists x \in\ M: f(x)=y \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} f\left(f^-1\left(B\right)\right) \subseteq B \subseteq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^-1\left(B\right) \subseteq M \end{eqnarray*}$ kann ich $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ einsetzen und habe meine Behauptung.

Sieht dieser Lösungsweg besser aus? Und inwiefern stimmt mein Beweis bei der a)?

Kommt schon nah dran, die Argumentation ist aber immer noch nicht einwandfrei. Insbesondere bei

Zitat:

kann ich $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(B\right) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ einsetzen

muss man nicht wissen, was du damit meinst. Du hast schon die richtige Bedingung für Surjektivität oben stehen. Was folgt dann für $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray*}$ insbesondere? Da muss dein x nämlich herkommen. Dieser Aspekt sollte bei präziser Argumentation nicht fehlen.

Zitat:

geschrieben von RavenOnJ
@sly

Meintest du nicht eher an Mai?

04.11.2012, 16:01

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ich meinte eher dich, aber auch Mai. Denn du hattest zu seinem Gegenbeispiel gemeint, es wäre in Ordnung, während ich es nicht so ganz in Ordnung fand, wie ich ja schrieb.

Gruß
Peter

04.11.2012, 16:46

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt verstehe ich den Zusammenhang. Ja, da weiter oben ist mir der Fehler nicht wirklich aufgefallen, da ichs nicht so ganz genau gelesen habe wie du. Ich hab mir nur die Mengen angesehen, die Abbildung und das B. Und dann stimmts ja auch, den Rest habe ich dann nicht mehr beachtet.

04.11.2012, 19:36

Mai

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich das richtig, dass mein Beispiel doch falsch ist? verwirrt

verwirrt

Wie ist es dann richtig, denn das Beispiel von RavenOnJ ist mir leider nicht ganz klar geworden.

@Sly: Also, das $\begin{eqnarray*} x \in\ f^-1\left(\{y\}\right) \end{eqnarray*}$ ist, verstehe ich, aber ich weiß leider nicht an welche Stelle der Argumentation es hingehört.

05.11.2012, 01:04

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Um das zu erläutern, was ich gemeint habe (in der Hoffnung, dass es dir dann klarer wird):

Du betrachtest eine Menge $\begin{align*} B\subseteq N \end{align*}$ . Jetzt musst du unterscheiden, ob ein Element aus $\begin{align*} B \end{align*}$ zum Bild $\begin{align*} im f \end{align*}$ gehört oder nicht. Du musst also zwischen zwei disjunkten Mengen unterscheiden: a) $\begin{align*} B\cap im f \end{align*}$ und b) $\begin{align*} B\setminus im f \end{align*}$ .

a) Sei jetzt $\begin{align*} y\in B\cap im f \end{align*}$ und $\begin{align*} M\supseteq A = f^{-1}(\{y\}) \end{align*}$ (wegen der Konsistenz betrachte ich die Wirkung der Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ und der Urbildfunktion $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ nur auf Teilmengen und nicht auf einzelne Elemente). $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ ist gerade so definiert, dass jedes Element von $\begin{align*} A \end{align*}$ auf $\begin{align*} y \end{align*}$ abgebildet wird: $\begin{align*} f(A) = \{y\} \end{align*}$ . Daraus folgt $\begin{align*} f(f^{-1}(\{y\})) =f(A)= \{y\} \end{align*}$ , sowie $\begin{align*} f(f^{-1}(B\cap im f)) = B\cap im f \subseteq B \end{align*}$

b) Nun sei $\begin{align*} z \in B\setminus im f \end{align*}$ . Eigentlich macht es nur Sinn, $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ auf Elemente aus $\begin{align*} im f \end{align*}$ anzuwenden. Um aber den Definitionsbereich von $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ auf ganz $\begin{align*} N \end{align*}$ auszudehnen, bleibt als einzig sinnvolle Zuordnung für Elemente, die nicht zum Bild von $\begin{align*} f \end{align*}$ gehören, diese auf die leere Menge "abzubilden". Also $\begin{align*} f^{-1}(\{z\}) = \emptyset \end{align*}$ , sowie $\begin{align*} f^{-1}(B\setminus im f) = \emptyset \end{align*}$ . Berücksichtigt man jetzt noch die Definition $\begin{align*} f(\emptyset) = \emptyset \end{align*}$ , dann lässt sich zusammenfassen: $\begin{align*} f(f^{-1}(\{z\}))=\emptyset \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f(f^{-1}(B\setminus im f))=\emptyset \end{align*}$ .

Wenn man berücksichtigt, dass für alle Mengen $\begin{align*} X \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} \emptyset\subseteq X \end{align*}$ , so lassen sich beide Fälle zusammenfassen zu

$\begin{eqnarray*} <br /> \end{eqnarray*}<br /> \begin{align*}<br /> f(f^{-1}(B)) &= f(f^{-1}((B\cap im f)\cup(B\setminus im f))) <br /> &= f(f^{-1}(B\cap im f)\cup f^{-1}(B\setminus im f)) <br /> &=f(f^{-1}(B\cap im f)\cup \emptyset) = f(f^{-1}(B\cap im f)) <br /> &=B\cap im f \subseteq B <br /> \end{align*}<br /> \begin{eqnarray*}<br /> \end{eqnarray*}$

Gruß
Peter

07.11.2012, 22:37

Mai

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine ausführliche Erläuterung. smile

smile

Ich glaub jetzt hab ich's besser verstanden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »