Grad von Körpererweiterungen

03.11.2012, 16:53

xemle75ml

Grad von Körpererweiterungen

Meine Frage:
Hallo, verstehe folgendes nicht:

Ich möchte herausfinden, welchen Grad die Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(2^{\frac{1}{3}}) / \mathbb Q \end{eqnarray*}$ hat.

Meine Ideen:
Ich wende dazu also einfach den Satz an, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(2^{\frac{1}{3}}): \mathbb Q]=[2^{\frac{1}{3}} : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$ .
Vorher wurde bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x^{3}-2 \end{eqnarray*}$ das zugehörige Minimalpolynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist. Es handelt sich also um ein Polynom vom Grad 3.

Also müsste ja eigentlich gelten $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(2^{\frac{1}{3}}): \mathbb Q]=3 \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist aber ein weiteres Kriterium für den Grad gerade das, dass sich alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(2^{\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe einer Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und Elementen aus dem Grundkörper darstellen lassen.

Es gilt ja aber für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q(2^{\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$ die Darstellung $\begin{eqnarray*} x=a+2^{\frac{1}{3}}*b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Nun kann ich doch aber einfach die Basis wählen als $\begin{eqnarray*} B=\{1,2^{\frac{1}{3}}\} \end{eqnarray*}$ welche aber bloß $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Elemente enthält, woraus wiederum $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(2^{\frac{1}{3}}): \mathbb Q]=2 \end{eqnarray*}$ folgen würde.

Wo ist hier der Fehler? Verstehs irgendwie nicht..

Danke schon mal für Hilfe

03.11.2012, 16:59

tmo

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RE: Grad von Körpererweiterungen

Zitat:

Original von xemle75ml

Es gilt ja aber für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q(2^{\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$ die Darstellung $\begin{eqnarray*} x=a+2^{\frac{1}{3}}*b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Wer erzählt denn sowas?

03.11.2012, 17:03

xemle75ml

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Achso.. vertue ich mich dann gerade damit, dass diese Darstellung für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[2^{\frac{1}{3}}] \end{eqnarray*}$ gilt?

03.11.2012, 17:12

ollie3

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hallo,
nein, aber in deiner basis fehlt noch ein wichtiges element, nämlich ...
gruss ollie3

03.11.2012, 17:34

xemle75ml

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verrätst du mir welche? ich sehs einfach nicht..

03.11.2012, 17:52

ollie3

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hallo,
weil man in einem körper 2 beliebige elemente miteinander multiplizieren kann
und das ergebnis auch wieder in dem körper sein muss, fehlt noch 2^(2/3),
(also das ergebnis von 2^(1/3) * 2^(1/3)), also die komplette basis ist also
{1, 2^(1/3), 2^(2/3)}, und die körpererweiterung hat tatsächlich den grad 3
über Q.
gruss ollie3

03.11.2012, 17:54

xemle75ml

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mh, meinst du vielleicht noch das Element $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ ? Ich verstehe aber (vorausgesetzt das stimmt) echt nicht wieso das irgendwie von nöten sein sollte um $\begin{eqnarray*} x=a+2^{\frac{1}{3}}*b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ darzustellen.

03.11.2012, 17:56

xemle75ml

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alter schwede.. stimmt.... vielen dank, habs kapiert!

03.11.2012, 20:20

Sly

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Zitat:

Original von xemle75ml
Achso.. vertue ich mich dann gerade damit, dass diese Darstellung für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[2^{\frac{1}{3}}] \end{eqnarray*}$ gilt?

Zitat:

hallo,
nein, aber

Doch. Genau das hat die Verwirrung ausgelöst. Die runde Klammer heißt, dass der von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ erzeugte Ring gemeint ist, nicht der erzeugte Vektorraum. Entsprechend berücksichtigt man auch alle möglichen Produkte der Ereuger, insbesondere alle Potenzen.

03.11.2012, 20:32

DHD

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@Sly: Ich kenn die Notation anscheinend anders als du:
R[a] steht für den erzeugten Ring, K(a) steht für den erzeugten Körper.
Ist R ein Körper und a algebraisch so stimmen die beiden Objekte überein.

03.11.2012, 20:35

Sly

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Hmkay. Ich sollte vielleicht noch einmal in meine alten Algebra Unterlagen schauen, ob ich hier keinen Blödsinn erzählt habe. Kann sein, dass du Recht hast.

/edit: Doch, nach 2 minütigem Nachdenken halte ich es für sehr wahrscheinlich, dass ich Blödsinn erzählt habe. Entschuldigung

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