Algebraische Strukturen

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03.11.2012, 19:32	miliers	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraische Strukturen Hallo Sei $\begin{eqnarray} (G, \circ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Die Menge $\begin{eqnarray} \langle g \rangle \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} \langle g \rangle = \lbrace g^n \vert n \in Z \rbrace \end{eqnarray}$ . (1) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (\langle g \rangle, \circ) \end{eqnarray}$ eine abelsche Gruppe ist. (2) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} \langle g \rangle \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (G, \circ) = (Z, +) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g=-6 \end{eqnarray}$ Ich finde nichtmals einen Ansatz zu den beiden Fragen. Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, wie ich anfangen soll? Vielen Dank schon mal im Vorraus
03.11.2012, 20:25	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Fangen wir mal mit (1) an. Guck dir doch mal die Gruppenaxiome in Ruhe an. Wenn die nicht sitzen, kann man keine Aufgaben rechnen. Nachdem du das gemacht hast, guck dir diese Menge doch mal an und denke nach, wie die Verknüpfung von 2 Elementen konkret aussieht. Die Gruppenaxiome folgen ziemlich leicht, man muss es nur hinschreiben
03.11.2012, 21:00	miliers	Auf diesen Beitrag antworten »
also die Gruppenaxiome sind mir bekannt, mich irritiert jedoch dieses g^n. Gehe ich um die Gruppenaxiome zu beweisen von elementen wie g^e, g^a, g^b, ... usw aus und beweise mit hilfe von denen die Axiome ?
03.11.2012, 21:33	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist hier viel einfacher. Du hast ja einfach nur Potenzen. Das ist bei Gruppenelementen ganz genau wie bei Zahlen. Genauer: $\begin{eqnarray} g^0 \end{eqnarray}$ ist definiert als das neutrale Element der Gruppe, für $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g^n = \underbrace{g \circ g\circ\dots\circ g}_{n\;\text{mal}} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} n<0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g^n = (g^{-n})^{-1} = \underbrace{g^{-1}\circ g^{-1}\circ \dots\circ g^{-1}}_{-n\;\text{mal}} \end{eqnarray}$ . Wenn du zwei Zahlen $\begin{eqnarray} n,m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gegeben hast, was ist das Produkt $\begin{eqnarray} g^n\circ g^m \end{eqnarray}$ ?
03.11.2012, 21:41	miliers	Auf diesen Beitrag antworten »
Das produkt ist in dem Fall ist doch $\begin{eqnarray} g^n \circ g^m = g^{n+m} \end{eqnarray}$ oder?
03.11.2012, 21:47	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau. Je nachdem, wie streng dein Übungsgruppenleiter ist, würde ich da aber auch nen kleinen Beweis dranhängen, wo die Definition streng verwendet wird. Jetzt, wo du das weißt, versuche doch mal, die Gruppenaxiome hier nachzuprüfen. Was du jetzt bereits implizit gezeigt hast, ist, dass die Gruppenoperation auf dieser Untermenge überhaupt Sinn macht. Assoziativität? Wie sieht das neutrale Element aus? Inverse? Kommutativität?
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03.11.2012, 21:54	miliers	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke ich denke ich komm nun mit der aufgabe klar. Und wie soll ich mit der 2 anfangen?
03.11.2012, 22:14	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Aufgabe (2) musst du im wesentlichen nur die "Gruppensprache" in die normale Addition auf Zahlen übersetzen. Wie sieht denn $\begin{eqnarray} g^n \end{eqnarray}$ als Zahl geschrieben aus? Gucke dir einfach nur die Definition an.
04.11.2012, 11:34	miliers	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in der aufgabe zwei wird für g (-6) eingesetzt und in der definition von $\begin{eqnarray} \langle g \rangle \end{eqnarray}$ wird g^n definiert also (-6)^n dann wird die (-6) n-mal mit sich selbst multipliziert. So verstehe ich das.
04.11.2012, 12:02	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, eben nicht. Was ist denn die gegebene Gruppenoperation auf den ganzen Zahlen?
04.11.2012, 12:43	miliers	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Addition. dann eben n*(-6)= (-6)+(-6)+...+(-6) (n-mal) ?
04.11.2012, 13:02	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
04.11.2012, 13:09	miliers	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Vielen Dank .

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