Jacobi-Identität

Neue Frage »

03.11.2012, 22:50	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi-Identität Meine Frage: Guten Abend und großes Danke im Voraus, ich muss die Jacobi-Identität beweisen a x (b x c)+ b x (c x a)+ c x (a x b) = 0 Also das wäre kein Problem, aber ich muss es mit hilfe der Einsteinschen Summenkonvention und des Levi-Cevita-Symbols tun. Meine Ideen: Nun die Einsteinsche Summenkonvention und das Levi-Cevita-Symbol habe ich mir angeguckt nur wie wende ich das jetzt an? Wie kann ich einen Vektor in dieser Art schreiben und dann hier vorgehen? Das Prinzip ist ja klar, also zuerst muss man das Kreuzprodukt in der Klammer bilden und dann mit dem Vektor vor der Klammer. Nur wie mache ich das in dieser komischen Form
04.11.2012, 23:28	Auch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}a_{j}b_{l}c_{m}=a\times (b\times c) \end{eqnarray}$ das sollte dir erst mal helfen. So machst du das mit den anderen Summanden auch und dann formst Du die Epsilons in Kronecker-Deltas um. Das steht auch in der Musteraufgabe auf dem Übungsblatt. Ich kam damit auch erst nicht klar. Aber wenn du die dritte Aufgabe zuerst machst, ist das leichter.
05.11.2012, 13:58	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich verstehe aber nicht wieso der linke Teil der Gleichung exakt dem rechten Teil der Gleichung ist. Das Vektorprodukt gilt nur in 3D $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ in der Form ist mir alles einleuchtend und ersichtlich und so ist das toll und in der anderen Form sehe ich es einfach nicht, dass es äquivalent ist sprich was wofür da steht...
05.11.2012, 15:24	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mir wäre echt geholfen, wenn ich wüsste was hier genau was ist in der anderen schreibweise.
05.11.2012, 17:19	Auch	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich stelle es mir immer so vor: $\begin{eqnarray} (c\times (a\times b)_{k})_{i} = (\varepsilon _{ijk}c_{j}(a\times b)_{k})_{i} = (\varepsilon _{ijk}c_{j}(\varepsilon _{klm})_{k})_{i} = \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}c_{j}a_{l}b_{m} \end{eqnarray}$ Du fängst außen an, alles ist über i summiert, also kommt als erstes vom äußeren Epsilon ein i dann ist das nächste das c in der äußeren Klammer, das bekommt den Index j (j kommt nach i), dann steht als nächstes die Klammer mit dem Kreuzprodukt von a und b. Das ist dann der dritte Faktor, also das k. Dann in der a-kreuz-b-Klammer wieder von außen nach innen arbeiten. Also nur dort betrachtet wird alles über k summiert, also das als erstes vom zweiten Epsilon. Dann a und b wieder nach dem Alphabet weiterbenannt, also hat das zweite Epsilon klm. Die Epsilon kann man auch direkt nebeneinander schreiben, dann kann man daraus die Kronecker-Deltas formen (steht auch in dem zweiten Beispiel, und hatten wir meine ich auch in der Vorlesung): $\begin{eqnarray} \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}c_{j}a_{l}b_{m} = (\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})c_{j}a_{l}b_{m} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, das ist einigermaßen klar. Wie man das mit den Deltas umformt, sieht man auf der vierten Seite von dem Übungszettel. Da kann man auch die bac-cab Regel nachweisen.
05.11.2012, 17:24	Auch	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, bei der Umformung habe ich in der Klammer was vergessen: $\begin{eqnarray} (c\times (a\times b)_{k})_{i} = (\varepsilon _{ijk}c_{j}(a\times b)_{k})_{i} = (\varepsilon _{ijk}c_{j}(\varepsilon _{klm}a_{l}b_{m})_{k})_{i} = \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}c_{j}a_{l}b_{m} \end{eqnarray}$
Anzeige

05.11.2012, 22:33	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die restlichen Kreuzprodukte schreibe ich dann nur jeweils die Buchstaben hinein b x (c x a) und addiere sie zusammen und setze das gleich Null? Und das soll kürzen sein ??? Wenn ich es noch verstehen würde...
05.11.2012, 23:56	Auch	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn du es jetzt noch liest, dann ja, einfach die a, b, c rumtauschen und wenn man dann die Deltas addiert kommt 0 raus - fertig. Ich tu mich viel schwerer an den Raumkurven o.O
06.11.2012, 07:52	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Raumkurven hab ich raus, nur die Zeichnung weiß ich nicht wie ich die anfertigen soll.

Neue Frage »

Antworten »

Jacobi-Identität

Verwandte Themen