ln-Funktionsschar

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Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »
ln-Funktionsschar
Meine Frage:
Hallo,
ich habe on meiner Mathelehrerin eine Aufgabe zur Vorbereitung zur nächsten KLausur bekommen, doch leider komme ich mi den Augeben nicht klar und hoffe, dass mit jmd. helfen kann.


Für jedes t>0 ist eine Funktion gegeben durch
ft(x) = ln (1+x/t-x).

Ihr Schaubild sei Kt.

a)Zeigen Sie, dass für die maximale Definitionsmenge Dt gilt:
Dt=[x/-1<x<t].
Untersuchen Sie Kt auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie auf Asymptoten.
Zeichnen Sie K6 samt Asymptoten.

b)Für welches t ungleich 1 bilden die Kurventangenten im Schnittpunkt von Kt mit der x-Achse und die Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck?
Weisen Sie nach, dass K6 punktsymmetrisch ist.

c)Das Schaubild K6 schließt mit den Koordinatenachsen im 4. Feld eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.

d)1. sei die Kurve mit der Gleichung y = ln x ; x>0.
Geben sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von 1. und der Gerade y = mx mit mER in Abhängigkeit von m an.
Beweisen Sie für m = 1/3 die Richtigkeit des Ergebnisses durch die Rechnung mit Hilfe des Nullstellengesetzes.


Meine Ideen:
a) man kann die Funktion doch gegeben des ln-Gesetzes ln(a/b) = lna - lnb umstellen...

b)ich weiß leider nicht, wie ich die Gleichungen der Kurventangenten errechenen kann

c)ich weiß, was ich zu machen hab... Integral bilden

d)naja ich weiß nicht so ganz, wie ich anfangen soll

es wäre echt super lieb, wenn mir jmd. helfen könnte
vielen Dank schonmal im Vorraus
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »



Dein Ansatz für den Definitionsbereich ist doch schon mal gut. Versuch ihn doch mal umzusetzen.
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Okay...
Dann heist es doch
ft(x)= ln (1+ t/x -x)
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Wie löst man
0=ln(1+X)-ln(t-x) auf

Ich muss doch mit e^x arbeiten...
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der schnittpunkt mit der x achse bei t/2
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Und der schnittpunkt mit der y achse bei y=-lnt
 
 
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Funktionsschar
so ich hab mich jetzt noch mal mit meinen Lsg befasst

a)
umgestellt heißt es ln(1+ x/t -x)
x= 0
y= 0
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal zum Definitionsbereich. Wie du richtig erkannt hast:



Die ln-Funktion ist nur für positive reele Zahlen definiert. Das bedeutet du musst nun prüfen, für welche x

einmal:

und:

Und dann die Schnittmenge der beiden bilden. Das ist dein Definitionsbereich.

Deine Schnittpunkt mit der y-Achse stimmt.

Der mit der x-Achse aber nicht. Die Rechnung mache ich jetzt mal vor, die wirst du dann verstehen müssen für die Extremwerte

Bedingung für Nullstelle :















Versuch dich nun einmal an den Ableitungen.
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine Hilfe
wie man die Nullstellen beechnet, habe ich jetzt verstanden
danke

okay ich versuch mal die Ableitungen
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

okay...

für f'(x)= (1/x - 1) / (x/t - x +1)

und für f''(x) muss man nur hoch 2 rechnen
also f''(x)= (1/x - 1)^2 / (x/t - x +1)^2

f'''(x)= 2(1/x - 1)^3 / (x/t - x +1)^3
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

oh nein
ich hab x und t vertauscht

f'(x)= (1/t - 1) / (x/t - x +1)

und für f''(x) muss man nur hoch 2 rechnen
also f''(x)= (1/t - 1)^2 / (x/t - x +1)^2

f'''(x)= 2(1/t - 1)^3 / (x/t - x +1)^3
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

0= (1/t - 1) / (x/t - x +1) I *(x/t - x +1)

0= (1/t - 1)

darau folgt doch, dass kein Hoch. bzw. Tiefpunkt
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitung ist wahrscheinlich falsch, aber ich kann es dir nicht zu 100% sagen, da ich das Gewusel nicht lesen kann. Vielleicht könntest du auch den Formeleditor benutzen?

Der Ansatz ist ja folgender:





Nun musst du das ganze nur zusammenfassen (Stichwort: Hauptnenner)

Lösung sollte das hier sein:


Ansonsten versuch dich an den anderen aufgaben, ich werde heute Abend noch einmal vorbeischauen, vielleicht hilft dir noch jemand anderes?
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

okay

danke für deine Hilfe
ich versuchs mit dem Formeleditor

danke
wäre nett, wenn jmd anderes helfen könnte

danke dir schonmal
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

ich brauche nur noch Hilfe bei d)...
das wäre echt super nett

und ich bin mir nicht sicher, aber ich kann keine Hoch- bzw. Tiefpunkte finden

danke für Hilfe schonmal
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle bei d) doch einmal ein Gleichungssystem auf.

Sei und

Welche 2 Bedingungen müssen denn für einen Berührpunkt gelten?
Danach kannst du dann die Anzahl der Schnittpunkte in Abhängigkeit von m herausfinden.

und zu a)

Die Funktion hat keine Extrempunkte.
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

ein gleichungssytem...

also
f(x) = g(x)
und f'(x) = g'(x) sein

das wären die Bedingungen, die mir einfallen würden
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

okay

es würde dann doch heißen

ln x = mx

--> (nach m umgestellt)

ln x /x = m

und

1/x = m

aber was sagt mir das über m aus?
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig!



Eingesetzt in die erste Gleichung:



ergibt:



Wo liegt also der Berührpunkt? Wie groß ist die Steigung von f bzw. g an dem Berührpunkt?
Was passiert mit g oberhalb und unterhalb der berechneten Steigung?
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

der berührungspunkt liegt dann 1/m ?

die Steigung ist vom x Wert abhänging


ich würde dir ja gern eine richtige Antwort auf deine Fragen geben
nur leider weiß ich es nicht

Hammer
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Berührpunkt hat den x-Wert





Der y-Wert ist

Der Berührpunkt hat die Koordianten

Jetzt bestimmte doch die Steigung von f am Punkt P.
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

okay...

also dazu muss ich f' bilden

f'(1)= 1/x

m = 1

dann liegt der Anstieg bei 1
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

ach quatsch

ich muss ja e^1 einsetzen

also 1/e^1 =m
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das ist gerade nochmal gut gegangen.

Für diese Steigung berühren sich also die Graphen, d.h. es ist nur ein Schnittpunkt vorhanden.

Was passiert nun für und
Wie viele Schnittpunkte gibt es in diesen Fällen jeweils?
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

okay


m > 1/e^1
dann gibt es auch nur einen schnittpunkt...
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

da hab ich ja dann keine Schnittpunkte
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Mathe für Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt bin ich ja fertig oder?

danke für deine Hilfe

lg
TyrO Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Funktionsschar
Fast.

Zitat:
Beweisen Sie für m = 1/3 die Richtigkeit des Ergebnisses durch die Rechnung mit Hilfe des Nullstellengesetzes.


Das Nullstellengesetz ist wahrscheinlich der "Zwischenwertsatz".
Mathefür Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

okay..

nur schade, dass wir diese Gesetz noch nie im Unerricht behandelt haben...

dann muss ich das mal googlen
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