Kurvendiskussionen

04.11.2012, 16:41

Tipso

Kurvendiskussionen

Hallo,

Hier eine Umfangreiche Aufgabe.
Anmerkung: Ich bin Anfänger und habe mich bis dato einige male in die Materie durchgelesen.

Aufgabenstellung:

1.
Asymtotisches Verhalten
2.
Nullstellen
3.
Extrempunkte
4.
Wendepunkte
5.
Wendetangente
6.
Graf
7.
Monotonieverhalten
8.
krümmungsverhalten

berechnen.

Angabe:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

Definitionsmenge: (-4, 6)

1.
1.
Asymtotisches Verhalten

04.11.2012, 17:08

Equester

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Den Definitionsbereich musst du mir nochmals genauer erklären.
Hast du den bestimmt? Oder gehört diese zur Aufgabenstellung? Augenzwinkern

Zum asymptotischen Verhalten.
1. Haben wir eine senkrechte Asymptote? Wann haben wir eine solche?
2. Wie siehts mit waagrechten Asymptoten aus? Da brauchen wir ja bei einem Polynom nur
die höchste Potenz zu betrachten.

Edit: Mach gerne weiter loler Augenzwinkern

04.11.2012, 17:18

loler90

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1. Lasse ich mal aus

2. Nullstellen berechnen, mit hilfe der Polynomdivision (allerdings benötigst du hierfür eine Nullstelle, die könntest du erraten) oder wenn du einen neuen Taschenrechner hast hat der eine Funktion um das zu berechnen (z.B. Casio fx-991ES PLUS)

3. n.B. 1. Ableitung = 0
h.B. 2. Ableitung != 0

4. n.B. 2. Ableitung =0
h.B. 3. Ableitung != 0

5. Steigung am zuvor berechneten Punkt durch die 1. Ableitung berechnen. und dann mit dem Punkt zusammen in die Grundgleichung einer Geraden einsetzen(Punkte sind nur beispielhafte Werte): $\begin{eqnarray*} t(x)= mb+b \\ P(2|4) \\ m=2 \\ 4=2*2+b \\ \Rightarrow b = 0 \\ \Rightarrow t(x)= 2x \end{eqnarray*}$

6. Da du ja bereits die EP,WP, NS berechnet hast kannst du diese in ein Koordinatensystem einzeichnen und dann sinnvoll verbinden.

7. wird mir erstmal zu viel Augenzwinkern

Wo liegen denn da die Probleme? Du musst genau erklären wo eine Probleme liegen, sonst kann ich dir hier ja nich alles vorrechnen. Die Bedingungen habe ich dir ja erstmal aufgeschrieben.

/edit Equester den 1. Punkt darfst du gerne erklären. Den Begriff kenne ich leider nicht. Augenzwinkern

die restlichen Punkte kann ich gerne auch ausführlicher machen.

04.11.2012, 17:33

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Den Definitionsbereich musst du mir nochmals genauer erklären.
Hast du den bestimmt? Oder gehört diese zur Aufgabenstellung? Augenzwinkern

Ich glaube damit ist der Bereich gemeint, welcher im Grafen gezeichnet werden muss. Es stand neben der Poln. Gleichung.

Zitat:

Muss mich nochmals einlesen.
Da ich die Fragen nicht beantworten kann.

@loler90

Ich bin noch nicht vertraut mit der Materie. Finde es einfach sehr unverständlich, ich finde es sehr nett das du die Bedingungen mit aufgeschrieben hast, werde einfach anfangen zu probieren und hier daraufhin die Lösungen bzw. meine Lösungen posten.

Bedingungen für 7. und 8. wären nett, wenn möglich.

lg

04.11.2012, 17:34

Equester

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Dann arbeitet euch schonmal durch.
Tipso lies mal was dazu nach. Dann schalte ich mich wieder am Ende ein (und geh jetzt erst mal essen^^).

Wink

04.11.2012, 17:41

Tipso

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RE: Kurvendiskussionen
Angabe:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

1.
Asymtotisches Verhalten

Was muss ich nun machen?
Ich kann von der Funktion gar nichts ablesen.

lg

04.11.2012, 17:41

loler90

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Also guck mal in dein Postfach und mir fällt grad noch ein Fehler auf es soll $\begin{eqnarray*} f(x)=mx+b \end{eqnarray*}$ heißen und nicht $\begin{eqnarray*} f(x)=mb+b \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Wenn du noch Fragen hast stell sie einfach oder nimm mein Angebot aus der PN in anspruch.

Also ich kann dir wie gesagt beim 1. nicht helfen, das habe ich noch nie gemacht unglücklich

04.11.2012, 18:00

Tipso

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RE: Kurvendiskussionen
Alles klar.

Zitat:

Original von Tipso
Angabe:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

1.
Asymtotisches Verhalten

Was muss ich nun machen?
Ich kann von der Funktion gar nichts ablesen.

lg

Hierzu eine Frage von einem anderen Bsp. welches ich nicht verstehe:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{8} x^4+ \frac{1}{2} x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x^4\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{2x} \right) \end{eqnarray*}$

Warum wurde es so umgestellt?
Warum geht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ gegen null?

Warum heißt dies dann für diese Funktion dass die y-Werte von unendlich kommen und zu unendlich gehen?

lg

04.11.2012, 18:00

sulo

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@loler90
Alles, was den Thread betrifft, sollte hier offen besprochen und nicht per PN geklärt werden.

Bitte lies dir mal das Boardprinzip durch, was das Helfen in Threads betrifft.

Danke.

04.11.2012, 18:10

loler90

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@sulo

Danke sulo für den Hinweis. Ich finde, dass alles , vor allem eine vollständige Kurvendiskussion, aufzuschreiben und zu erläutern sehr anstrengend ist. Deshalb habe ich ihn gefragt, ob ich ihm genaueres privat(über Skype) erläutern soll. Es ist auch richtig, dass es hier im Thread besprochen werden soll, nur bin ich nicht bereit alles lang und breit hier hin zu schreiben. Dann könnte er auch google benutzen (was ich nicht als sinnvoll einstufen würde, wenn er schon hier fragt). So wollte ich auf seine Probleme direkt eingehen. Er muss es nicht machen, er kann auch gerne hier die Lösungen posten und dann werden diese halt kontrolliert und fertig. Ich wollte nur die Kapazitäten des Forums schonen smile

Ich hoffe, dass du meine Handlungsweise verstehst und, dass wir nicht direkt Thread bezogenes per PN besprochen haben.

04.11.2012, 18:13

Equester

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Zu der Frage mit der (waagrechte) Asymptote:

Es ist für dich von Interesse was passiert, wenn man x gegen - unendlich oder +unendlich
laufen lässt, also ein x "ganz weit links" oder "ganz weit rechts" betrachtet.
Da ist die höchste Potenz natürlich sehr dominant! Immerhin ist es ein Unterschied ob du
1000³ oder 1000² hast (für x³ bzw. x²).

Eine Besonderheit haben wir mit x^4 -> hier haben wir eine gerade Potenz, weswegen uns das
Vorzeichen nicht interessiert. Mit einer geraden Potenz fällt uns ja das Vorzeichen weg Augenzwinkern

.

In deinem Beispiel wurde nun die höchste Potenz ausgeklammert, da diese am interessantesten ist.
Dabei ist der erste Summand in der Klammer einfach ein endlicher Wert und der letzte Summand
geht gegen 0. Warum der gegen 0 geht, kannst du dir mit einem Beispiel veranschaulichen.
Was passiert für 1/1000? Oder gar 1/1000² Augenzwinkern

.

Klar?

04.11.2012, 18:17

sulo

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Zitat:

Original von loler90
Ich finde, dass alles, vor allem eine vollständige Kurvendiskussion, aufzuschreiben und zu erläutern sehr anstrengend ist. [...] Es ist auch richtig, dass es hier im Thread besprochen werden soll, nur bin ich nicht bereit alles lang und breit hier hin zu schreiben..

Dann solltest du hier nicht helfen.

Zitat:

Original von loler90
Ich wollte nur die Kapazitäten des Forums schonen

Das brauchst du nicht. Wir haben reichlich Platz.

Bitte beachte: Das Boardprinzip besagt, dass unsere Hilfe öffentlich geschieht.

04.11.2012, 18:21

loler90

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Ok wenn die Regeln so sind dann werde ich mich dran halten(müssen).

BTT: Wenn du Fragen hast schreib sie einfach oder schreib deine Lösungen hier hin. smile

/edit ja wird eingehalten smile

04.11.2012, 18:33

Tipso

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Zitat:

Zu der Frage mit der (waagrechte) Asymptote:

Es gibt demnach auch eine Senkrechte x)

Zitat:

Es ist für dich von Interesse was passiert, wenn man x gegen - unendlich oder +unendlich
laufen lässt, also ein x "ganz weit links" oder "ganz weit rechts" betrachtet.
Da ist die höchste Potenz natürlich sehr dominant! Immerhin ist es ein Unterschied ob du
1000³ oder 1000² hast (für x³ bzw. x²).

Du meinst damit, dass der höchste Potenzwert am interessantesten ist weil dieser am Aussagekräftigsten ist. Ich hoffe, ich habe dich hier richtig verstanden.

Zitat:

Eine Besonderheit haben wir mit x^4 -> hier haben wir eine gerade Potenz, weswegen uns das
Vorzeichen nicht interessiert. Mit einer geraden Potenz fällt uns ja das Vorzeichen weg Augenzwinkern

Welches Vorzeichen meinst du damit? Das Vorzeichen von x?
Oder das von - oder + unendlich?

Zitat:

In deinem Beispiel wurde nun die höchste Potenz ausgeklammert, da diese am interessantesten ist.
Dabei ist der erste Summand in der Klammer einfach ein endlicher Wert und der letzte Summand
geht gegen 0. Warum der gegen 0 geht, kannst du dir mit einem Beispiel veranschaulichen.
Was passiert für 1/1000? Oder gar 1/1000² Augenzwinkern

Der erstere ist einfach ein Summand der zweitere aber erhält ein x, also wird durch diesen dividiert. Dieser X geht jeweils gegen + oder - unendlich, weshalb er weggelassen werden kann, da dieser quasi 0 beträgt.

Nun zurück zu meiner Aufgabe:

[quote]Original von Tipso
Angabe:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

1.
Asymtotisches Verhalten

Was mache ich nun?
Ich muss x gegen + und - unendlich gehen lassen und daraus dann ablesen wie ich mein y - verhält. Wie mache ich das, in diesem Beispiel?

lg

04.11.2012, 18:35

loler90

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Zitat:

Du meinst damit, dass der höchste Potenzwert am interessantesten ist weil dieser am Aussagekräftigsten ist. Ich hoffe, ich habe dich hier richtig verstanden.

Richtig

Zitat:

Welches Vorzeichen meinst du damit? Das Vorzeichen von x? Oder das von - oder + unendlich?

Er meint das Vorzeichen von +/- unendlich

Zitat:

Genau

/edit zur eigentlichen aufgabe : $\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{16}x^{3}+\frac{3}{16}x^{2}+\frac{9}{16}x+\frac{5}{16} \end{eqnarray*}$ ist eine andere mögliche Schreibweise. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~ f(x) = \frac{-x^{3}}{16} \\ x \Rightarrow -\infty x=+ \infty \\ x \Rightarrow +\infty x=- \infty \end{eqnarray*}$ (ich weiß die Schreibweise ist so nich ganz korrekt). Hierbei musst du besonders auf die vorzeichen des Vorfaktors achten.

04.11.2012, 18:40

Equester

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Dafür, dass loler90 keine Ahnung von Asymptoten hat, beantwortet er die Fragen dazu aber gut :P.

Zitat:

Du meinst damit, dass der höchste Potenzwert am interessantesten ist weil dieser am Aussagekräftigsten ist. Ich hoffe, ich habe dich hier richtig verstanden.

Hier würde ich noch die Einschränkung "bei Polynomen" einfügen, sonst aber ja.

Bei deiner Originalaufgabe:
Als Anfänger kannst du ja einfach mal x³ ausklammern.
Als Fortgeschrittener kannst du dich einfach direkt an x³ halten (und etwaige Vorzeichen Augenzwinkern

)

04.11.2012, 18:42

Tipso

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$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

1.
Asymtotisches Verhalten

Was mache ich nun?
Ich muss x gegen + und - unendlich gehen lassen und daraus dann ablesen wie ich mein y - verhält. Wie mache ich das, in diesem Beispiel?

Dann probiere ich mal:

-5 kann ich weglassen.

Wir haben eine sehr große Zahl x^3 ziehen davon eine sehr große Zahl ab, 3x^2 und davon nochmal eine sehr große Zahl = x = eine sehr kleine bzw. negative Zahl.

Diese multiplizieren wir mit einer sehr kleinen negativen Zahl -(1/16) ergibt eine positive sehr kleine Zahl.

Für - unendlich, haben wir eine negative große Zahl, addieren diese mit einer positiven sehr großen Zahl und nochmal mit einer sehr großen positiven Zahl (- - = +) dann multiplizieren wir es mit einer sehr kleinen negativen Zahl.
Wir erhalten eine große negative Zahl.

lg

04.11.2012, 18:45

Tipso

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[quote]Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

ausklammern

$\begin{eqnarray*} x^3 *\frac{-1}{16} *(-3x - 9x^2 - 5x^3) \end{eqnarray*}$

Ich habe das Gefühl einen Fehler drinnen zu haben.

04.11.2012, 18:48

Equester

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Wie gesagt, so geht man nicht an eine solche Aufgabe ran.
Du hast meinen Tipp mit dem Ausklammern noch gelesen? Augenzwinkern

Um in deinem Slang mal das nochmals zu verdeutlichen.
Mit x³ haben wir eine gigantisch große Zahl (für x->unendlich) von der eine zwar auch große
Zahl, aber gegenüber x³ viel kleinere Zahl abgezogen wird. Noch viel kleiner sind die anderen
Zahlen die addiert und abgezogen werden und sind deshalb sowieso egal.
Wichtig ist also nur die Gigantische "Zahl" x³.
Ob das dabei noch durch 16 dividiert wird, ist dabei ja auch egal. Wichtig ist aber das Vorzeichen!
Ob du jetzt -x³ oder x³ hast und das ganze gegen +unendlich laufen lässt, macht einen Unterschied! Augenzwinkern

04.11.2012, 18:49

Equester

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Zitat:

Original von Tipso
[quote]Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

ausklammern

$\begin{eqnarray*} x^3 *\frac{-1}{16} *(-3x - 9x^2 - 5x^3) \end{eqnarray*}$

Ich habe das Gefühl einen Fehler drinnen zu haben.

Hast du. Da du es selbst bemerkt hast, willst dus nochmals versuchen? Augenzwinkern

04.11.2012, 18:51

loler90

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Sorry, ich kannte den Fachbegriff (noch) nicht und die Erklärung die Wikipedia mir geliefert hat war etwas verwirrend. Ich habe es bisher immer Randverhalten von x gegen unendlich gekannt, so lernt man jeden Tag etwas neues dazu. Ich habe leider (noch) kein Mathematik studiert Augenzwinkern

04.11.2012, 19:00

Tipso

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Zur Aufgabe:

Ich betrachte die größte Potenz und lasse es gegen + und - unendlich gehen. Wenn du Potenz gerade ist, dann ist mein Ergebnis immer positiv. Also + unendlich.

in meinem Fall

-x^3

$\begin{eqnarray*} +\infty = - \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\infty = + \infty \end{eqnarray*}$

Das heißt für die Funktion, die y-Werte kommen von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und gehen zu $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Warum?

Zitat:

Original von Equester

Zitat:

Hast du. Da du es selbst bemerkt hast, willst dus nochmals versuchen? Augenzwinkern

ja

Hmm, so recht wissen tue ich es nicht.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

ausklammern

$\begin{eqnarray*} x^3 *\frac{-1}{16} *(-3/x - 9/x^2 - 5/x^3) \end{eqnarray*}$

Danke für die Beantwortung meiner Fragen im Slang, so verstehe ich dich. x)

04.11.2012, 19:06

Equester

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Zitat:

Danke für die Beantwortung meiner Fragen im Slang, so verstehe ich dich. x)

Ich versuche mich ja anzupassen Big Laugh

.

-x^3

$\begin{eqnarray*} +\infty = - \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\infty = + \infty \end{eqnarray*}$

Das hier ist wieder Slang. Das hast du sicher richtig gemeint, aber ist es falsch aufgeschrieben.
Dass das Gleichheitszeichen hier nicht passt, brauche ich dir sicher nicht zu erkären^^.

Sauber aufgeschrieben wird das so:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to-\infty}=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}=-\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das heißt für die Funktion, die y-Werte kommen von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und gehen zu $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Wie in einem Buch liest man von links nach rechts. Das ist also genau andersrum Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} x^3 *\frac{-1}{16} *(-3/x - 9/x^2 - 5/x^3) \end{eqnarray*}$

Das ist weiterhin nicht ganz richtig. Es fehlt, dass du eigentlich 1*x³ hast, also beim Ausklammern
eine 1 übrig bleibt Augenzwinkern

. Bedenke die Faulheit der Mathematiker, die die 1 einfach verschwinden lassen^^.

$\begin{eqnarray*} x^3 *\frac{-1}{16} *(1+-3/x - 9/x^2 - 5/x^3) \end{eqnarray*}$

Damit ist die Klammer dann einfach 1. Du hast nur noch den Vorfaktor. Der interessiert
abgesehen vom Vorzeichen auch nicht weiters. Genau wie du es oben gezeigt hast Freude

04.11.2012, 19:14

Tipso

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Zitat:

Original von Equester

Zitat:

Danke für die Beantwortung meiner Fragen im Slang, so verstehe ich dich. x)

Ich versuche mich ja anzupassen Big Laugh

War so gemeint und ich habe es soweit verstanden. Thx. Freude

Zitat:

Das heißt für die Funktion, die y-Werte kommen von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und gehen zu $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Wie in einem Buch liest man von links nach rechts. Das ist also genau andersrum Augenzwinkern

Verstehe ich leider nicht, da ich mir darunter nichts vorstellen kann.
Verstehe deine Methaper nicht, es ist andersrum? Wie? Warum?

Ich lese davon ab, dass die Funktion von unten also - kommt und am Ende nach oben + geht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^3 *\frac{-1}{16} *(-3/x - 9/x^2 - 5/x^3) \end{eqnarray*}$

Das ist weiterhin nicht ganz richtig. Es fehlt, dass du eigentlich 1*x³ hast, also beim Ausklammern
eine 1 übrig bleibt Augenzwinkern

. Bedenke die Faulheit der Mathematiker, die die 1 einfach verschwinden lassen^^.

Verstehe.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^3 *\frac{-1}{16} *(1+-3/x - 9/x^2 - 5/x^3) \end{eqnarray*}$

Damit ist die Klammer dann einfach 1. Du hast nur noch den Vorfaktor. Der interessiert
abgesehen vom Vorzeichen auch nicht weiters. Genau wie du es oben gezeigt hast Freude

[/QUOTE]
Warum?
Weil 3/ eine sehr große Zahl, die wir nicht zu berücksichtigen brauchen = 0.

1 - bleibt, da sie eine Zahl ist die man berücksichtigen muss, sie ändert aber nichts an unserem x^3.

Verstanden.

Nächster Punkt.

smile

04.11.2012, 19:18

Equester

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Zitat:

Das heißt für die Funktion, die y-Werte kommen von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und gehen zu $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Das y ist doch die "Höhe". Das hat mit links und rechts erst mal nichts zu tun.
Schauen wir uns jetzt aber die "Höhe" bei x->-unendlich an, also "ganz links", dann haben wir doch
eine positive Höhe!
Also verläuft der Graph von "links oben, nach rechts unten". Ok? Augenzwinkern

loler ist wohl gegangen, dann mach ich weiter.
Was hast du zur 2. zu Sagen? Augenzwinkern

04.11.2012, 19:21

loler90

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jein ich bin jetzt auch mal essen und grad noch etwas weg gewesen. Du kannst gerne weiter machen

04.11.2012, 19:25

Tipso

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RE: Kurvendiskussionen
2. Nullstellen

Ich nehme dieses Beispiel analog um die Dinge besser zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{8} x^4+ \frac{1}{2} x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x^4\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{2x} \right) \end{eqnarray*}$

Hier geht es weiter zu den Nullstellen:

1.
$\begin{eqnarray*} y = 0 = x^3 \left(\frac{x}{8} + \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} x 1,2,3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n 1,2,3 = 0 \end{eqnarray*}$

3.
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{8} + \frac{1}{2} = 0 = x = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n_4 = (-4;0) \end{eqnarray*}$

1.
Wie komme ich darauf?
2.
Wie komme ich darauf? Warum ist es so bzw. läuft es so ab?
3.
Wie komme ich darauf? Warum ist es so bzw. läuft es so ab?

Mein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

Was muss ich machen?
$\begin{eqnarray*} y = 0 = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 19:27

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
[QUOTE]Das heißt für die Funktion, die y-Werte kommen von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und gehen zu $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Jetzt verstehe ich dich, ich habe vergessen das es sich um ein Verhältnis zwischen x und y handelt.

smile

Wenn wir also auch bei x->-unendlich eine positive Höhe haben und bei x->unendlich eine positive Höhe, kommt der Graph von links oben und geht nach rechts oben. right. smile

04.11.2012, 19:38

Equester

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Zu deinem letzten Post: Gut Augenzwinkern

.

Zu deinem ersteren:
Mir wäre es recht die erste Aufgabe mit dem x^4 etc. auf einen anderen Thread oder zumindest
später zu verschieben. Während es vorher noch mit der Ähnlichkeit gepasst hat, geht man bei
der Nullstellensuche bei beiden ganz anders vor.

Bei uns -> Da wirst du erstmal mit 16 multiplizieren müssen. Dann folgt eine Polynomdivision Augenzwinkern

04.11.2012, 19:48

Tipso

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RE: Kurvendiskussionen
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

Was muss ich machen?
$\begin{eqnarray*} y = -1 * 16x^3 - 48x^2 - 144x - 80 \end{eqnarray*}$

kann ich auch den Horner anwenden statt eine Polynomdivision durchführen?

Desweiteren, in der Angabe stand:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$ (-4;6)

(-4;6) = der Intervall für meine erste Nullstelle?

Da ich die erste Nullstelle mit alleinigem einsetzen finden muss.
Dabei nehme ich den teiler von -80? Oder von +80? da wir ein -1 ganz am Anfang unserer Rechnung haben.

lg

04.11.2012, 19:54

Equester

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Mit Horner geht das sicher auch. Da muss ich allerdings passen.
Ich habe das Verfahren kaum gesehen geschweige den selbst angewendet.

Richtig ist aber, dass man eine Nullstelle "raten" muss. Beachte aber, dass du nicht Teiler von 80
untersuchen musst. Immerhin hast die Möglichkeit mit 16 zu multiplizieren, dann ist das Absolutglied
eine -5. Ob du hier mit 5 oder -5 anfängst, ist dabei egal Augenzwinkern

. Ich persönlich würde mit -1 oder 1 anfangen.
Ist sicher einfacher^^.

04.11.2012, 20:00

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Dies bedeutet, ich muss das Absolutglied betrachten. Wichtig.

Dies wäre in meinem Fall -5 - warum es egal ist ob es - oder + ist, ist mir nicht geläufig.

Nun erhalte ich durch probieren meine erste Nullstelle.

Was sagt mir diese Nullstelle?

Nun verwende ich den Horner um eine Ebene runter zu kommen?
Warum eigentlich?

Mein Ergebnis: -1

Ich setze es dabei in die Gleichung die nicht mit 16 multipliziert wurde, um meine erste Nullstelle zu berechnen?
Warum ist dies wichtig?

lg

04.11.2012, 20:03

loler90

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Horner-Schema ist Polynomdivision. Es ist genau das gleiche nur in einer sehr reduzierten Form, was ich persönlich auch einfacher finde.

Wie ich gerade sehe wenn man $\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$ schreibt. Wenn der innere Ausdrück der Klammer also: $\begin{eqnarray*} \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right)= 0 \end{eqnarray*}$ ist auch der Gesamt Ausdruck auch 0. Also kannst du in dieser Aufgabe hier um die Nullstellen zu berechnen den inneren Ausdruck benutzen. Und dann wie du gesagt hast mit Hilfe des Hornerschemas die restlichen Nullstellen berechnen, wie ich auch schon erwähnt habe ist dafür eine Nullstelle von nöten.

04.11.2012, 20:07

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Teiler bestimmst ist das Vorzeichen irrelevant.
Bei uns also -5 und 5, sowie -1 und 1.

Ja, da erhältst (durch probieren) deine erste Nullstelle.
Diese Nullstelle sagt dir, wo du die x-Achse schneidest.
Bei vielen Textaufgaben ist dieser Schnittpunkt, diese Nullstelle, sehr wichtig Augenzwinkern

.

Das mit dem Horner, kann ich dir wie gesagt nicht beantworten.

Da 1/16 nur ein Faktor ist, ist dessen Betrachtung nicht weiters wichtig, solange der andere Faktor
(Die Klammer mit den x'en) 0 wird. Du kannst das bei der Betrachtung also einfach "vergessen" Augenzwinkern

.
Der Faktor verzerrt die Funktion nur, an der Nullstelle sind aber alle Funktionen (diesen Typs) gleich.
Nur danach und davor gehen sie halt steiler oder weniger steil weiter.

Edit: Ich überlasse dann mal lol90 das Feld, damit nicht zwei Helfer gleichzeitig helfen und mehr
verwirren als helfen Augenzwinkern

.
Guck derweil fern.

Wink

04.11.2012, 20:10

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist natürlich auch, was eine Nullstelle überhaupt ist?

Für die 2 Ebene (hoffe ich bezeichne es richtig) habe ich:

16x^2 + 64x + 144

Ich gehe hier gleich vor, erhalte durch den teiler von 144 meine Nullstelle, um auf die nächste Ebene, nächste Ebene runter zu kommen verwende ich wieder den Horner.

Oder es würde hier glaube ich auch ohne gehen?

Was mich irritierte an diesem Beispiel:

-1/16?
Es hat auch Funktioniert mit dem hineinmultiplizieren von 16 und dem weglassen von -1. Weswegen ich mir unsicher bin, ob meine Ergebnisse richtig sind.

04.11.2012, 20:18

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Ergebnisse mit dem Horner

-1

x^2 - 4x - 5

Nullstelle = - 1

x - 5

Nullstelle = 5?

Wie geht es weiter, was sagt mir das nun?

lg

@Equester

Danke für deine Hilfe.

04.11.2012, 20:19

loler90

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Ja das mit dem hereinmuliplizieren funktioniert auch, ist nur umständlicher. Ob deine Ergebnisse richtig sind kann ich dir leider nicht sagen. Ich bin mal etwas Karten spielen, ich werde morgen mal wieder vorbei schauen oder evtl. etwas später nochmal.

Bis dann

04.11.2012, 20:23

Equester

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Einmal mischt er mit, einmal doch wieder nicht.
Dann werden die Ergebnisse nicht überprüft unglücklich

.

Ich führe das mal zu Ende, Tipso smile

. Aber bishierher trotzdem schonmal "Gerne" Big Laugh

.

Ja, du hast nun deinen Nullstellen berechnet und diese sind auch richtig.
Einfach noch so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=5 \end{eqnarray*}$

und wir können zum nächsten Punkt übergehen Augenzwinkern

04.11.2012, 20:30

Tipso

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Nullstellen:

Leider weiß kenne ich mich nur mit dem Horner aus, da wir Polnomdivisionen noch nicht gemacht haben.

Meine Ergebnisse mit dem Horner

-1 - durch ausprobieren erhalten.

x^2 - 4x - 5

Nullstelle = - 1- durch ausprobieren erhalten.

x - 5

Nullstelle = 5 - Ersichtlich.

Wie geht es weiter, was sagt mir das nun?
Im Lösungsbuch steht: (-1/0) traurig

5/0)

Dabei kommt -1 zweimal vor, was sagt das mir?
Im x^3 und im x^2?
Was sagt mir x^3 und x^2? Man sagt, 3 Ebene und 2 Ebene? Warum?
Wie zeichnet dies sich in der Funktion ab?

Der nächste Punkt wäre demnach:

3. n.B. 1. Ableitung = 0
h.B. 2. Ableitung != 0

Ich bilde die erste und zweite Ableitung der Funktion.
Setze diese dann zu 0 und erhalte dadurch die bzw. meine Extrempunkte.

Warum?
Was muss ich mir vorstellen?

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

Ich frage mich natürlich auch wie ich bei der Ableitung vorgehe, bzw. was ich mit dem .(1/16) mache.

Mein Versuch:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = -1*16x^3 - 48x^2 - 144x - 80 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = -1*48x^2 - 96x - 144 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = -1*90x - 96 \end{eqnarray*}$

Nun

$\begin{eqnarray*} 0 = -1*48x^2 - 96x - 144 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -1*90x - 96 \end{eqnarray*}$

Weiß aber nicht wie ich diese erhalte? Die Ergebnisse meine ich.

lg

Ps.
Ich wäre auch dafür wenn du das zu Ende führst @Equester.

04.11.2012, 20:44

Equester

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Nullstellen sind x=-1 und x=5.
Nullpunkte sind (-1|0) und (5|0).

Das der y-Wert 0 sein muss, ist ja nicht schwer zu erkennen. immerhin untersuchen wir
ja gerade die Schnittpunkte mit der x-Achse, also auf der Höhe y=0 Augenzwinkern

.
Ob dabei eine Nullstelle mehrfach genannt vorhanden ist, oder nicht ist egal.
Die Mehrfachheit erzählt uns etwas anderes. Aber ich glaube, das geht über die Grundlagen
hinaus, die du dir erst einmal aneignen solltest Augenzwinkern

.
Vllt soviel: Bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse, bei einer
doppelten Nullstelle (also bei x=-1) berührt der Graph die x-Achse, wechselt also nicht von
Plus nach Minus (bzw. andersrum.......das sehen wir ja dann, wenn wir es zeichnen Augenzwinkern

).

3.
Die Bezeichnung ist nicht korrekt (auch wenn sie glaub ich von loler kommt).
Richtig -> Nebenbedingung: f'(x)=0
Aber die Hauptbedingung lautet: f'(x)=0 und f''(x)!=0.

Das mit den Ableitungen scheint ja zu klappen Freude

.
Da ist nur zu beachten, dass 48*2 nicht 90 ist Augenzwinkern

.

Die Ableitungen sind aber passen nicht zu unserer Funktion.
Du hast aus

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{16}x^3... \end{eqnarray*}$
das hier gemacht:
16x^3...
Das passt nicht!

Klammere das nochmals richtig aus (man müsste es nicht ausklammern, da dich das aber
sehr zu verwirren scheint, nehmen wir mal den Weg über das Ausklammern Augenzwinkern

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