Eigenwerte

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HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte
[attach]26502[/attach]

2)





Das ist das Einzige, was mir auf Anhieb hierzu einfallen würde. Kann jedoch nicht die Lösung sein, oder? Denn gezeigt habe ich damit nicht, dass die Eigenvektor genau die Lösung der Determinante=0 sind?


3)


EW:





EV für :




Wie geht es hier weiter? Muss ich erstmal die Matrix betrachten um Aussagen betreffend der Lösbarkeit treffen zu können?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand Vorschläge?

Danke
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Andere Aufgabe:

Charakteristisches Polynom:

Für die EW erhalte ich 2 und -1 (wobei mir sämtliche EW-Rechner was anderes liefern ...)


Eigenvektor zur EW=2
0,0

Eigenvektor zu EW=-1
0,0

Kann das stimmen?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »



Gibt es bei diesem Bsp. eine elegantäre Lösung die Eigenwerte zu berrechnen, als die Regel von Sarrus anzuwenden und dann doch recht umständlich das charakteristische Polynom auszurechnen?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre für eine RÜckmeldung sehr dankbar!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ein bißchen viel auf einmal. Nun denn.

Zitat:
Original von HansimGlück
3)


EW:




Richtig ist
Der Rest ist falsch. Für die Bestimmung der Eigenwerte solltest du auch im Gleichungssystem die Wurzel(2)-Darstellung verwenden.

Zitat:
Original von HansimGlück
Andere Aufgabe:

Charakteristisches Polynom:

Für die EW erhalte ich 2 und -1 (wobei mir sämtliche EW-Rechner was anderes liefern ...)

Es ist leicht einzusehen, daß deine Eigenwerte keine Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind. smile
 
 
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass du dir trotzdem die Zeit genommen hast, obwohl es mehrere Aufgaben sind!


1)
Zitat:
Original von klarsoweit

Richtig ist
Der Rest ist falsch. Für die Bestimmung der Eigenwerte solltest du auch im Gleichungssystem die Wurzel(2)-Darstellung verwenden.




Ich weiß leider nicht, wie ich das GLS nun auflösen soll.


Zitat:
Original von klarsoweit
Es ist leicht einzusehen, daß deine Eigenwerte keine Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind. smile

Stimmt natürlich Hammer

Die Eigenwerte sind lt. Wolfram Alpha komplex. Da kann irgendwas nicht stimmen. Bin mir sicher, dass keine komplexen Eigenwerte bei uns gefragt sind. Eventuell ein Fehler in der Matrix ( Big Laugh )



Hast du eventuell auch einen Vorschlag zu Aufgabe 2 in der Angabe vom ersten Beitrag?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HansimGlück



Also ein GLS mit 2 Variablen aufzulösen hat man schon an der Schule gelernt. Im Zweifelsfall würde ich die 1. Gleichung nach x_2 auflösen und in die 2. Gleichung einsetzen. smile

Zitat:
Original von HansimGlück
Die Eigenwerte sind lt. Wolfram Alpha komplex. Da kann irgendwas nicht stimmen. Bin mir sicher, dass keine komplexen Eigenwerte bei uns gefragt sind.

Ob bei euch keine komplexen Eigenwerte gefragt sind, kann ich nicht sagen. Jedenfalls sind die Eigenwerte komplex. Augenzwinkern

Zitat:
Original von HansimGlück
Hast du eventuell auch einen Vorschlag zu Aufgabe 2 in der Angabe vom ersten Beitrag?

Da habe ich noch nicht draufgeschaut.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von HansimGlück



Also ein GLS mit 2 Variablen aufzulösen hat man schon an der Schule gelernt. Im Zweifelsfall würde ich die 1. Gleichung nach x_2 auflösen und in die 2. Gleichung einsetzen. smile


Ah.. ich glaub jetzt hab ichs. Nicht realisiert, dass ich für x_1 einen Parameter auswählen muss. Ich rechne mal weiter Augenzwinkern

Thx!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungsansätze für Aufgabe 2 findest du in jedem guten Algebrabuch oder auch auf Wiki:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertpr..._der_Eigenwerte
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... wär ja auch zu schön gewesen, wenn es auf Anhieb geklappt hätte unglücklich

Wenn ich x_1=a setze und in die erste Gleichung einsetze:



Erhalte ich x_2=

Mein noch nicht normierter Vektor sieht dann so aus:

Kannst du mir sagen, ob das soweit richtig ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das paßt. Und normieren ist nicht unbedingt nötig, es sei denn, es wird verlangt.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!


Zitat:
Original von klarsoweit
Lösungsansätze für Aufgabe 2 findest du in jedem guten Algebrabuch oder auch auf Wiki:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertpr..._der_Eigenwerte

Hab ich durchgelesen. Kann damit jedoch keine Ableitung zur Lösung der Aufgabe 2 finden.

Im Wiki zu Charakteristischen Polynomen findet sich der Beitrag "Zusammenhang mit Eigenwerten":
http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteris...mit_Eigenwerten

Das schaut für mich nach einer Antwort für Aufgabe 2 aus. Nachvollziehbar ist es für mich jedoch nicht. Bzw. wie ich darauf selbst kommen soll (falls es denn tatsächlich die Lösung ist).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist doch die: man sucht nicht-triviale Lösungen des GLS bzw.

Das heißt, die Matrix darf nicht invertierbar sein und folglich muß sein.

Also eigentlich ist das mit 3 Zeilen erledigt. Augenzwinkern
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit wäre gezeigt, dass die Eigenwerte der quadratischen Matrix A, genau die Lösungen der Gleichung sind?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das muß man formal vielleicht noch etwas genauer aufbauen:

1. Teil: sei lambda ein Eigenwert von A. Folgere daraus, daß dann ist.
(das entspricht meinem vorigen Beitrag)

2. Teil: es sei lambda eine Zahl mit
Zeige, daß es dann ein x ungleich Nullvektor gibt mit A*x = lambda * x
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich kann dir nicht folgen.

Ich denke, dass ich Teil 1 verstehe. Lambda ist ja ein Eigenwert, wenn es die Bedingung erfüllt.

Wie ich Teil 2 zeige, nämlich, dass es ein x ungliech Nullvektor gibt mit A*x=Lambda*x ist mir nicht schlüssig.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HansimGlück
Ich denke, dass ich Teil 1 verstehe. Lambda ist ja ein Eigenwert, wenn es die Bedingung erfüllt.

Du verwechselst hier Voraussetzung und Behauptung. In Teil 1 ist:

Voraussetzung: lambda ist ein Eigenwert
Behauptung: Es gilt

Zitat:
Original von HansimGlück
Wie ich Teil 2 zeige, nämlich, dass es ein x ungliech Nullvektor gibt mit A*x=Lambda*x ist mir nicht schlüssig.

Wieso? Wenn ist, ist die Matrix A - lambda E nicht invertierbar und somit ist die Dimension des Kerns > 0. Also gibt es ein x, der nicht der Nullvektor ist, mit (A - lambda E) * x = 0
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Voraussetzung: lambda ist ein Eigenwert
Behauptung: Es gilt

Muss die Behauptung nicht bewiesen werden?


Zitat:
Original von klarsoweit
Wieso? Wenn ist, ist die Matrix A - lambda E nicht invertierbar und somit ist die Dimension des Kerns > 0. Also gibt es ein x, der nicht der Nullvektor ist, mit (A - lambda E) * x = 0


Wieso folgt aus der mangelnden Invertiertbarkeit der Matrix A- Lambda E, dass die Dimension des Kerns > 0 ist? Und wieso kann man daraus schlussfolgern, dass es ein x gibt, der nicht der Nullvektor ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HansimGlück
Zitat:
Original von klarsoweit
Voraussetzung: lambda ist ein Eigenwert
Behauptung: Es gilt

Muss die Behauptung nicht bewiesen werden?

Das hatte ich in meinem Beitrag von 14:01 getan. Augenzwinkern

Zitat:
Original von HansimGlück
Zitat:
Original von klarsoweit
Wieso? Wenn ist, ist die Matrix A - lambda E nicht invertierbar und somit ist die Dimension des Kerns > 0. Also gibt es ein x, der nicht der Nullvektor ist, mit (A - lambda E) * x = 0


Wieso folgt aus der mangelnden Invertiertbarkeit der Matrix A- Lambda E, dass die Dimension des Kerns > 0 ist?

Das sollte mal in der Algebra-Vorlesung dran gewesen sein. Und wenn die Dimension des Kerns > 0 ist, dann muß im Kern etwas mehr als der Nullvektor drin sein. Augenzwinkern
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Anders gefragt:

Zitat:
Original von klarsoweit
Die Sache ist doch die: man sucht nicht-triviale Lösungen des GLS bzw.

Das heißt, die Matrix darf nicht invertierbar sein und folglich muß sein.


Wieso folgt aus bzw. , dass die Matrix nicht invertierbar sein darf?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre invertierbar, dann könnte man in der Gleichung von links mit der inversen Matrix multiplizieren. Dann müßte aber x=0 sein im Widerspruch dazu, daß es ein x ungleich Null gibt, mit .
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