Eigenwerte |
04.11.2012, 18:45 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eigenwerte 2) Das ist das Einzige, was mir auf Anhieb hierzu einfallen würde. Kann jedoch nicht die Lösung sein, oder? Denn gezeigt habe ich damit nicht, dass die Eigenvektor genau die Lösung der Determinante=0 sind? 3) EW: EV für : Wie geht es hier weiter? Muss ich erstmal die Matrix betrachten um Aussagen betreffend der Lösbarkeit treffen zu können? |
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06.11.2012, 19:46 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hat jemand Vorschläge? Danke |
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06.11.2012, 21:03 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Andere Aufgabe: Charakteristisches Polynom: Für die EW erhalte ich 2 und -1 (wobei mir sämtliche EW-Rechner was anderes liefern ...) Eigenvektor zur EW=2 0,0 Eigenvektor zu EW=-1 0,0 Kann das stimmen? |
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06.11.2012, 21:32 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gibt es bei diesem Bsp. eine elegantäre Lösung die Eigenwerte zu berrechnen, als die Regel von Sarrus anzuwenden und dann doch recht umständlich das charakteristische Polynom auszurechnen? |
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07.11.2012, 08:43 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wäre für eine RÜckmeldung sehr dankbar! |
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07.11.2012, 09:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ein bißchen viel auf einmal. Nun denn.
Richtig ist Der Rest ist falsch. Für die Bestimmung der Eigenwerte solltest du auch im Gleichungssystem die Wurzel(2)-Darstellung verwenden.
Es ist leicht einzusehen, daß deine Eigenwerte keine Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind. |
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07.11.2012, 11:51 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke, dass du dir trotzdem die Zeit genommen hast, obwohl es mehrere Aufgaben sind! 1)
Ich weiß leider nicht, wie ich das GLS nun auflösen soll.
Stimmt natürlich Die Eigenwerte sind lt. Wolfram Alpha komplex. Da kann irgendwas nicht stimmen. Bin mir sicher, dass keine komplexen Eigenwerte bei uns gefragt sind. Eventuell ein Fehler in der Matrix ( ) Hast du eventuell auch einen Vorschlag zu Aufgabe 2 in der Angabe vom ersten Beitrag? |
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07.11.2012, 12:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also ein GLS mit 2 Variablen aufzulösen hat man schon an der Schule gelernt. Im Zweifelsfall würde ich die 1. Gleichung nach x_2 auflösen und in die 2. Gleichung einsetzen.
Ob bei euch keine komplexen Eigenwerte gefragt sind, kann ich nicht sagen. Jedenfalls sind die Eigenwerte komplex.
Da habe ich noch nicht draufgeschaut. |
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07.11.2012, 12:53 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah.. ich glaub jetzt hab ichs. Nicht realisiert, dass ich für x_1 einen Parameter auswählen muss. Ich rechne mal weiter Thx! |
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07.11.2012, 13:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Lösungsansätze für Aufgabe 2 findest du in jedem guten Algebrabuch oder auch auf Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertpr..._der_Eigenwerte |
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07.11.2012, 13:14 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm... wär ja auch zu schön gewesen, wenn es auf Anhieb geklappt hätte Wenn ich x_1=a setze und in die erste Gleichung einsetze: Erhalte ich x_2= Mein noch nicht normierter Vektor sieht dann so aus: Kannst du mir sagen, ob das soweit richtig ist? |
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07.11.2012, 13:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, das paßt. Und normieren ist nicht unbedingt nötig, es sei denn, es wird verlangt. |
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07.11.2012, 13:30 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke!
Hab ich durchgelesen. Kann damit jedoch keine Ableitung zur Lösung der Aufgabe 2 finden. Im Wiki zu Charakteristischen Polynomen findet sich der Beitrag "Zusammenhang mit Eigenwerten": http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteris...mit_Eigenwerten Das schaut für mich nach einer Antwort für Aufgabe 2 aus. Nachvollziehbar ist es für mich jedoch nicht. Bzw. wie ich darauf selbst kommen soll (falls es denn tatsächlich die Lösung ist). |
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07.11.2012, 14:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Sache ist doch die: man sucht nicht-triviale Lösungen des GLS bzw. Das heißt, die Matrix darf nicht invertierbar sein und folglich muß sein. Also eigentlich ist das mit 3 Zeilen erledigt. |
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07.11.2012, 14:13 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und damit wäre gezeigt, dass die Eigenwerte der quadratischen Matrix A, genau die Lösungen der Gleichung sind? |
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07.11.2012, 14:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
OK, das muß man formal vielleicht noch etwas genauer aufbauen: 1. Teil: sei lambda ein Eigenwert von A. Folgere daraus, daß dann ist. (das entspricht meinem vorigen Beitrag) 2. Teil: es sei lambda eine Zahl mit Zeige, daß es dann ein x ungleich Nullvektor gibt mit A*x = lambda * x |
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07.11.2012, 14:30 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sorry, ich kann dir nicht folgen. Ich denke, dass ich Teil 1 verstehe. Lambda ist ja ein Eigenwert, wenn es die Bedingung erfüllt. Wie ich Teil 2 zeige, nämlich, dass es ein x ungliech Nullvektor gibt mit A*x=Lambda*x ist mir nicht schlüssig. |
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07.11.2012, 14:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du verwechselst hier Voraussetzung und Behauptung. In Teil 1 ist: Voraussetzung: lambda ist ein Eigenwert Behauptung: Es gilt
Wieso? Wenn ist, ist die Matrix A - lambda E nicht invertierbar und somit ist die Dimension des Kerns > 0. Also gibt es ein x, der nicht der Nullvektor ist, mit (A - lambda E) * x = 0 |
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07.11.2012, 15:06 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Muss die Behauptung nicht bewiesen werden?
Wieso folgt aus der mangelnden Invertiertbarkeit der Matrix A- Lambda E, dass die Dimension des Kerns > 0 ist? Und wieso kann man daraus schlussfolgern, dass es ein x gibt, der nicht der Nullvektor ist? |
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07.11.2012, 15:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das hatte ich in meinem Beitrag von 14:01 getan.
Das sollte mal in der Algebra-Vorlesung dran gewesen sein. Und wenn die Dimension des Kerns > 0 ist, dann muß im Kern etwas mehr als der Nullvektor drin sein. |
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07.11.2012, 15:25 | HansimGlück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Anders gefragt:
Wieso folgt aus bzw. , dass die Matrix nicht invertierbar sein darf? |
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07.11.2012, 15:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wäre invertierbar, dann könnte man in der Gleichung von links mit der inversen Matrix multiplizieren. Dann müßte aber x=0 sein im Widerspruch dazu, daß es ein x ungleich Null gibt, mit . |
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