Beweis: Abelsche Gruppe |
| 04.11.2012, 18:51 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis: Abelsche Gruppe Die Aufgabe ist: Sei (G,*) eine Gruppe und es soll x²=e für jedes x \in G gelten. Nun soll man zeigen, dass G abelsch ist. Meine Ideen: Also ich weiß, dass für a,b \in G a*b=b*a gelten muss. Und das x*x^-1=e ist. Aber wie ist jetzt der Ansatz für meinen Beweis? |
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| 04.11.2012, 18:58 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was bedeutet die gegebene Gleichung denn im Hinblick auf die Suche nach Inversen in der Gruppe? |
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| 04.11.2012, 19:00 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Gleichung meinst du? |
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| 04.11.2012, 19:04 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 04.11.2012, 19:08 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube ich stehe gerade auf dem Schlauch 
Ich weiß nur, dass x^-1*x = e ist, dann müsste auch x^-1*x = x² sein und somit x^-1=x ?? Stimmt das? |
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| 04.11.2012, 19:10 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau darauf wollte ich hinaus, wobei Du das Resultat auch schneller bekommst, wenn Du einfach bei auf beiden Seiten mit multiplizierst. Welche Formel gilt nun in jeder Gruppe für das Inverse von ? |
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| 04.11.2012, 19:13 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kenne nur dir Formel : (xy)^-1*xy= e |
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| 04.11.2012, 19:14 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann forme das mal um zu . |
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| 04.11.2012, 19:17 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also (xy)^-1= e* (xy)^-1 |
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| 04.11.2012, 19:20 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Gleichung ist relativ nichtssagend. |
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| 04.11.2012, 19:22 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, irgendwie schon. Ist es vielleicht so richtig: (xy)^-1= x^-1 * y^-1 |
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| 04.11.2012, 19:27 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist im allgemeinen falsch, aber ich wollte auf etwas ähnliches hinaus. |
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| 04.11.2012, 19:29 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann habe ich keine Idee wie man das noch umformen kann. Kannst du mir noch einen Tipp geben? |
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| 04.11.2012, 19:32 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
man könnte ja noch für (xy)^-1= e*(xy)^-1 schreiben, aber bringt mich das weiter? |
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| 04.11.2012, 19:39 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir hatten doch oben schon festgestellt, dass das wenig bringt. 
Nochmal zurück zu . Erkläre mal schrittweise, wie Du hier den Term isolierst. |
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| 04.11.2012, 19:42 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, bei "normalen" Zahlen würde ich durch (xy) teilen. Aber wie das hier funktioniert weiß ich nicht.
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| 04.11.2012, 19:46 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teilen darfst Du alles, denn wir befinden uns doch in einer Gruppe! Mit zu multiplizieren ist aber nicht sehr zielführend, weil das eben nur eine Tautologie liefert. Was kann man aber stattdessen machen? |
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| 04.11.2012, 19:47 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe noch eine Idee: Also wenn man (xy)^-1*(xy)=e, dann ist (xy)^-1= (x*x)
xy) und das ist dann (xy)^-1 = x*y^-1 ???? |
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| 04.11.2012, 19:52 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Muss ich bei dem Umformen von der Gleichung (xy)^-1*(xy)=e ausgehen? |
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| 04.11.2012, 20:07 | Ratlos;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könnte mir jemand anderes vielleicht weiter helfen??? Das wäre echt toll. |
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| 04.11.2012, 20:43 | Dangalf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann Dir einen anderen Ansatz bieten: Setze in und "multipliziere" von rechts mit einem geschickt gewählten Gruppenelement (je nach Deiner Wahl vielleicht auch ein zweites Mal). |
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| 04.11.2012, 22:05 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich werde das damit jedenfalls nicht mehr. Schönen Abend noch. |
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