matrix linearer abbildung

04.11.2012, 18:56

dark123

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matrix linearer abbildung

hi,

kann mir jemand bei folgendem beispiel helfen? ich versteh nicht ganz was hier zu tun ist.

gegebene ist die lineare abbildung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a1 \\ a2 \end{pmatrix} \rightarrow F(\begin{pmatrix} a1 \\ a2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} a1 +a2 \\ 2a1 - a2\\ a1 + 2a2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) man ermittle $\begin{eqnarray*} M_{K'}^{K}(F) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} K=\{e1,e2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K'=\{e1,e2,e3\} \end{eqnarray*}$ die kanonischen basen des R^2 bwz R^3 sind

b) Man bestimmen Bild(F) durch die Angabe einer Baisis

wie kann ich jetzt M(F) ermitteln?

lg

05.11.2012, 10:32

klarsoweit

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RE: matrix linearer abbildung
Bestimme die Bilder der Basisvektoren von K und stelle diese in der Basis von K' dar. Die jeweiligen Koordinatenvektoren sind die Spalten der Matrix M.

05.11.2012, 23:26

dark123

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also standardbasis

]

$\begin{eqnarray*} K = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K' = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bestimme die Bilder der Basisvektoren von K und stelle diese in der Basis von K' dar. Die jeweiligen Koordinatenvektoren sind die Spalten der Matrix M

was genau meinst du jetzt damit. wie kann ich die bilder des basisvektors bestimmen? mein problem ist dass ich mir darunter nichts vorstellen kann. ich hab zwar die lösung, würd sie aber auch gerne verstehen :-)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow F(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in meinem skript seht:

man nennt M(F) die Abbildung F bezüglich der Basen A und B darstellende Matrix. mit den weiteren definitionen kann ich nicht viel anfangen. wie gesagt fehlt mir die vorstellung was ich hier eignetlich machen soll.

06.11.2012, 09:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von dark123
was genau meinst du jetzt damit. wie kann ich die bilder des basisvektors bestimmen? mein problem ist dass ich mir darunter nichts vorstellen kann. ich hab zwar die lösung, würd sie aber auch gerne verstehen :-)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow F(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich meine genau das, was du da gerechnet hast. Du hast jetzt die Bildvektoren der beiden Basisvektoren von K bestimmt (siehe die beiden Vektoren auf der rechten Seite). Diese mußt du nun als Linearkombination aus den Basisvektoren von K' darstellen. Das ist in diesem Fall wirklich trivial, da K' aus den kanonischen Basisvektoren besteht. Aber K' könnte ja auch andere Vektoren beinhalten.

Die Koordinatenvektoren (das sind die Linearfaktoren als Vektor geschrieben) trägst du dann als Spalten in deine Matrix M(F) ein.

06.11.2012, 20:39

dark123

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Zitat:

Ich meine genau das, was du da gerechnet hast. Du hast jetzt die Bildvektoren der beiden Basisvektoren von K bestimmt (siehe die beiden Vektoren auf der rechten Seite).

ahh ok ich verstehe. d.h.

M(F) = 1 1
2 -1
1 2

und wast dann genau mit b) gemeint?

b) Man bestimmen Bild(F) durch die Angabe einer Baisis

07.11.2012, 08:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von dark123
ahh ok ich verstehe. d.h.

M(F) = 1 1
2 -1
1 2

Oder schöner mit Latex: $\begin{eqnarray*} M(F) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von dark123
b) Man bestimmen Bild(F) durch die Angabe einer Baisis

Du hast ja jetzt die Bildvektoren der Basisvektoren von K. Jeder Bildvektor von einem Vektor aus dem Urbildraum ist daher als Linearkombination aus diesen Bildvektoren darstellbar. Somit bilden diese Bildvektoren ein Erzeugendensystem von Bild(F) und könnten auch eine Basis sein, wenn sie linear unabhängig wären. Dieses ist also noch zu prüfen.

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07.11.2012, 22:59

dark123

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hmm also so ganz versteh ich das noch nicht.

Zitat:

Du hast ja jetzt die Bildvektoren der Basisvektoren von K. Jeder Bildvektor von einem Vektor aus dem Urbildraum ist daher als Linearkombination aus diesen Bildvektoren darstellbar.

d.h. egal welche basisvektoren ich verwende ich weiss dass ich alle weiteren bildvektoren als linearkombination der basisbildvektoren darstellen kann (falls ich das richtig formuliert hab).

Zitat:

Somit bilden diese Bildvektoren ein Erzeugendensystem von Bild(F) und könnten auch eine Basis sein, wenn sie linear unabhängig wären. Dieses ist also noch zu prüfen.

was ist mit erzeugendensystem von bild(F) gemeint?

und irgendwie kann ich aus der angabe

b) Man bestimmen Bild(F) durch die Angabe einer Baisis

nicht herauslesen dass ich die lineare unabhängigkeit der bildvektoren zeigen muss.

kann mir unter dem ganzen nur leider sehr schwer etwas vorstellen.

08.11.2012, 09:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von dark123
d.h. egal welche basisvektoren ich verwende ich weiss dass ich alle weiteren bildvektoren als linearkombination der basisbildvektoren darstellen kann (falls ich das richtig formuliert hab).

Nun ja, die Basisvektoren von K sind doch vorgegeben. Und eben diese nimmst du dann auch. Die Sache ist doch die: wenn du einen Vektor v aus deinem Urbildraum nimmst, dann läßt der sich mittels der Basisvektoren b_1 und b_2 darstellen in der Form $\begin{eqnarray*} v = \lambda_1 \cdot b_1 + \lambda_2 \cdot b_2 \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} F(v) = \lambda_1 \cdot F(b_1) + \lambda_2 \cdot F(b_2) \end{eqnarray*}$ .

Also läßt sich jeder Bildvektor darstellen aus den Bildern der Basisvektoren.

Zitat:

Original von dark123
was ist mit erzeugendensystem von bild(F) gemeint?

Also was ein Erzeugendensystem ist, solltest du eigentlich wissen. Zur Erinnerung: es ist eine Familie von Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen (erzeugen).

Zitat:

Original von dark123
und irgendwie kann ich aus der angabe

b) Man bestimmen Bild(F) durch die Angabe einer Baisis

nicht herauslesen dass ich die lineare unabhängigkeit der bildvektoren zeigen muss.

kann mir unter dem ganzen nur leider sehr schwer etwas vorstellen.

Wie wir oben gesehen haben, bilden die Bildvektoren der Basisvektoren b_1 und b_2 ein Erzeugendensystem von Bild(F). Nun können diese aber linear abhängig sein. Gesucht ist also eine Basis von Bild(F).

08.11.2012, 16:55

dark123

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ok soweit versteh ich das. d.h. indem ich zeige dass die beiden vektoren lin. unabh. sind
also mit:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \mu = 0 \end{eqnarray*}$

hab ich eine basis von von bild(f) gefunden:

$\begin{eqnarray*} B = \Bigg( \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \Bigg) \end{eqnarray*}$

09.11.2012, 08:36

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OK. Generell solltest du aber das Verfahren kennen, wie man aus einer Familie von Vektoren eine Unterfamilie von linear unabhängigen Vektoren rausfiltert.

10.11.2012, 12:32

dark123

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sollte ich wohl :-) nachdem ich mich aber erst seit einem monat mit matrizen beschäftige hab ich noch was nachzuholen.

vielen dank für deine hilfe smile

smile

10.11.2012, 15:38

dark123

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hab noch etwas vergessen. hab noch einen punkt c gegeben:

man überprüfe ob der vektor

$\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ein element von Bild(F) ist.

wie kann ich das bestimmen? muss ich den koordinatenvektor von v bestimmen und dann
wieder auf lineare unabhängigkeit überprüfen?

12.11.2012, 12:10

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Du hast doch eine Basis von Bild(F). Also mußt du doch nur schauen, ob sich der Vektor v mittels dieser Basis darstellen läßt.

12.11.2012, 23:25

dark123

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also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\\1&2\end{pmatrix}*x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wenn es eine lösung gibt dann ist der vektor eine element von Bild(F)?

13.11.2012, 09:43

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Da hast du mich falsch verstanden. Du mußt den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch eine Linearkombination aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen.

13.11.2012, 22:56

dark123

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ok laut skript:

ein system von vektoren heisst linear abhängig, wenn sich mindestens
einer von ihnen als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen läßt.

d.h. ich prüfe wieder auf lineare unabhängigkeit indem ich die determinante bestimmen. die ist in diesem fall 5. d.h. die vektoren sind linear unabhängig und somit ist der vektor v kein element von Bild(F)?

14.11.2012, 09:07

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Das mit der Determinante geht in diesem Fall ausnahmsweise. Der übliche Weg ist, die Vektoren zeilenweise in eine Matrix zu schreiben und diese auf Zeilenstifenform zu bringen.

14.11.2012, 20:48

dark123

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ausnahmsweise? ok dachte das geht vl immer so.
gut dann werd ichs zeilenweise machen.

vielen danke dann nochmal für die hilfe und geduld smile

smile

15.11.2012, 11:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von dark123
ausnahmsweise? ok dachte das geht vl immer so.

Die Determinante funktioniert nur bei quadratischen Matrizen. Aber hat man die immer?

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