Gleichverteilung auf dem Einheitskreis

07.02.2007, 19:35

MisterMagister

Gleichverteilung auf dem Einheitskreis

Hallo Leute, ich beschäftige mich Gerade mit der Gleichverteilung auf dem Einheitskreis, also

$\begin{eqnarray*} \Omega : = \{ (x_{1}, x_{2}) \in \mathbb{R}^{2} ~ \mid ~ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 1 \} \end{eqnarray*}$

Dann ist durch

$\begin{eqnarray*} \mu(A) = \frac{\lambda^{2}(A \cap \Omega)}{\lambda^{2}(\Omega)} = \frac{1}{\pi} \int 1_{\Omega}(A)~d\lambda \end{eqnarray*}$

die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert und durch

$\begin{eqnarray*} f(x_{1}, x_{2}) = 1_{\Omega}(x_{1}, x_{2}) \end{eqnarray*}$

eine zugehörige Dichte gegeben. Nun möchte ich die Randverteilungsdichten bestimmen. Nach Definition gilt ja,

$\begin{eqnarray*} f_{i}(x) = \int_{\mathbb{R}} ~ f(x_{1}, x_{2}) dx_{j} \qquad ,i \not= j \end{eqnarray*}$
für die i-te Randverteilungsdichte, aber wie berechnet man denn

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x) = \int_{\mathbb{R}} ~ 1_{\Omega}(x_{1}, x_{2}) dx_{2} \end{eqnarray*}$ ?

07.02.2007, 22:22

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Zitat:

Original von MisterMagister
$\begin{eqnarray*} \Omega : = \{ (x_{1}, x_{2}) \in \mathbb{R}^{2} ~ \mid ~ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1 \} \end{eqnarray*}$

Das ist aber nur der Kreisumfang. Vermutlich meinst du

$\begin{eqnarray*} \Omega : = \{ (x_{1}, x_{2}) \in \mathbb{R}^{2} ~ \mid ~ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 1 \} \end{eqnarray*}$ .

Zur berechnung der Randdichten: Stell doch einfach mal fest, für welche $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ bei gegebenen, festen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} 1_{\Omega}(x_1,x_2)=1 \end{eqnarray*}$ herauskommt. Geometrisch ist das nix weiter als eine Kreissehne.

07.02.2007, 22:50

MisterMagister

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Hab ich korrigiert.

Okay:

$\begin{eqnarray*} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1 \Leftrightarrow x_{2} = \pm \sqrt{1 - x_{1}^{2}} \end{eqnarray*}$

Muss ich dann irgendwie Fubini / Tonelli anwenden?

08.02.2007, 00:11

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Wieso denn jetzt Fubini? Einfach nur einsetzen: Für $\begin{eqnarray*} |x_1|\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x_1) = \frac{1}{\pi} ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ 1_{\Omega}(x_1, x_2) ~ \dd x_2 = \frac{1}{\pi} ~ \int\limits_{-\sqrt{1-x_1^2}}^{\sqrt{1-x_1^2}} ~ 1 ~ \dd x_2 \end{eqnarray*}$ ,

denn außerhalb dieses Intervalls ist die Indikatorfunktion Null.

08.02.2007, 17:38

MisterMagister

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Ja danke, hab's kapiert. Ich dachte Fubini würde vieleicht eine Rolle spielen, weil die Berechnung des Flächeninhalts damit so ähnlich aussieht:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}}^{}~1_{\Omega}(x_{1},y_{2})~d(x_{1},y_{2}) = \int_{-1}^{1}~ \int_{-\sqrt{1-x_{1}^2}}^{\sqrt{1-x_{1}^2}}~1~dy~dx = ... = \pi \end{eqnarray*}$

Also kommt raus:

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x) = \frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^{2}} \cdot 1_{[-1,1]} \end{eqnarray*}$

08.02.2007, 17:45

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