Dichtefunktion finden

05.11.2012, 16:51

Lula90

Dichtefunktion finden

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

Finden Sie eine stetige Dichtefunktion f auf [ 0, 2 ], so dass für den zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraum gilt:
P([ 0, 0.5 ]) = 0.7, P([ 0.4, 0.8 ]) = 0.2, P([ 0.7, 0.9 ]) = 0.1.

Kann mir jemand helfen, wie ich überhaupt an die Aufgabe herangehen soll? Bin leider völlig planlos. Muss ich nun eine oder drei Funktionen finden?

Danke!

05.11.2012, 16:54

Math1986

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RE: Dichtefunktion finden
Du musst eine stückweise definierte Treppenfunktion erstellen.

05.11.2012, 17:08

Lula90

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treppenfunktion?

05.11.2012, 17:14

HAL 9000

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Eine Nachfrage: Wird wirklich eine stetige Dichtefunktion verlangt, oder doch nur die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße? Ein himmelweiter Unterschied, denn letzteres wäre einfacher zu bewerkstelligen.

05.11.2012, 17:17

Lula90

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Da keine weiteren Angaben in der Aufgabe, die ich 1 zu 1 kopiert habe, gegeben sind, gehe ich davon aus, dass eine stetige Funktion gesucht wird, keine Zufallsgröße.

05.11.2012, 17:34

HAL 9000

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Nun ja, dann wird's einigermaßen eklig...

Was bedeuten die angeführten Bedingungen für die zugehörige (ebenfalls stetige) Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ des W-Maßes?

Zitat:

Original von Lula90
Finden Sie eine stetige Dichtefunktion f auf [ 0, 2 ]

Soll wohl so verstanden werden, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ konzentriert ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} F(0)=0,\quad F(2)=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Lula90
P([ 0, 0.5 ]) = 0.7, P([ 0.4, 0.8 ]) = 0.2, P([ 0.7, 0.9 ]) = 0.1.

In der Reihenfolge bedeutet dies

$\begin{eqnarray*} F(0.5)-F(0) = F(0.5) = 0.7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(0.8)-F(0.4) = 0.2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(0.9)-F(0.7) = 0.1 \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du die Qual der Wahl, die erwähnten Funktionswerte so festzulegen, dass diese Bedingungen erfüllt sind und gleichzeitig $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eíne Verteilungsfunktion bleibt, d.h. dass insbesondere die Monotonie

$\begin{eqnarray*} 0\leq F(0.4) \leq F(0.5) = 0.7 \leq F(0.7) \leq F(0.8) \leq F(0.9) \leq 1 \end{eqnarray*}$

gelten muss. Hat man sowas gefunden bzw. eher wie ich sagte "festgelegt" (es gibt unendlich viele Lösungsmöglichkeiten), muss man noch das restliche $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ so zwischen diesen Stützstellen dazubasteln, dass $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<x<2 \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar bleibt, damit die gesuchte Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Ableitung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auch stetig ist ... hübsch gemein, wer denkt sich sowas bloß aus? Augenzwinkern

05.11.2012, 17:54

Lula90

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Von Verteilungsfunktionen haben wir bisher gar nicht gesprochen. Unser Tutor hat uns den Tipp gegeben, auf die Gleichverteilung zurückzugreifen.
Also: $\begin{eqnarray*} P([c,d])=\frac{(d-c)}{(b-a)} \end{eqnarray*}$

Ist es damit vielleicht einfacher?

05.11.2012, 18:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lula90
Von Verteilungsfunktionen haben wir bisher gar nicht gesprochen.

Trotzdem wirkt sie doch aber im Hintergrund!!!

-----------------------

Ja, die Datenlage ist so, dass man zumindest im Intervall $\begin{eqnarray*} [0.4,0.9] \end{eqnarray*}$ eine konstante Dichtefunktion ansetzen kann - aber die kann nicht konstant bis 0 (nach links) bzw. konstant bis 2 (nach rechts) so bleiben. unglücklich

05.11.2012, 18:34

Lula90

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ich weiß nicht, was sich der dozent dabei gedacht hat, uns auf dichtefunktionen loszulassen, wenn wir verteilugsfunktionen noch nicht behandelt haben.

05.11.2012, 18:42

HAL 9000

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Nun gut, leben wir damit, was wir haben. Du solltest aber zumindest wissen, dass zwischen dem W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und dessen Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} P([a,b]) = \int\limits_a^b ~ f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

besteht. Wenn wir jetzt annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zumindest im Intervall $\begin{eqnarray*} [0.4,0.9] \end{eqnarray*}$ konstant wählbar ist, d.h. $\begin{eqnarray*} f(t)=c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in [0.4,0.9] \end{eqnarray*}$ , wie groß muss dann dieser Konstantwert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sein?

05.11.2012, 18:44

Lula90

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wie kommst du denn erstmal auf das intervall [0.4,0.9]?

05.11.2012, 18:46

HAL 9000

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Ich geb's auf - so werden wir hier nie fertig, wenn du alles in Frage stellst... Math1986 kann gern weitermachen.

05.11.2012, 18:48

Lula90

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sorry, ich versuche nur alles genau nachzuvollziehen!

05.11.2012, 18:50

HAL 9000

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Es gibt wahrscheinlich deutlich einfachere Aufgaben auf deinem Übungszettel - ich schlage vor, du konzentrierst dich auf die. Erst wenn du mit denen durch bist, kannst du dich dieser schon einigermaßen anspruchsvollen Aufgabe, bei der man eben auch etwas mitdenken muss, widmen.

05.11.2012, 18:51

Lula90

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das ist die letzte aufgabe und ich brauche wirklich hilfe, sonst hätte ich mich nicht hier gemeldet.

05.11.2012, 18:55

HAL 9000

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Ich hab dir einen Vorschlag gemacht, aber du willst erst ausführlich drüber rumdiskutieren, statt mal selber ein paar Minuten über diesen Vorschlag nachzudenken. Dazu habe ich nicht die Nerven. unglücklich

05.11.2012, 19:07

Lula90

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Waere das Intervall [0.4,0.8] gewesen haette ich es ja noch kapiert...

05.11.2012, 19:15

HAL 9000

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Arggh... na dann betrachte es halt erstmal auf [0.4,0.8], bestimme damit das c, und denke danach über das Intervall [0.7,0.9] nach - nur tu was. TU ENDLICH WAS!!!

05.11.2012, 19:20

Lula90

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Bei [0.4,0.8] muss c doch 0,2 sein? Und bei [0.7,0.9] dann 0,1?

05.11.2012, 19:35

HAL 9000

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} f(t)=c \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=0.4,b=0.8 \end{eqnarray*}$ in

Zitat:

Original von HAL 9000
Du solltest aber zumindest wissen, dass zwischen dem W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und dessen Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} P([a,b]) = \int\limits_a^b ~ f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

besteht.

einsetze und das mit $\begin{eqnarray*} P([0.4,0.8]) = 0.2 \end{eqnarray*}$ vergleiche, dann bekomme ich was anderes raus.

P.S.: Dir scheinen elementarste Kenntnisse zur Bearbeitung dieser Aufgabe zu fehlen. unglücklich

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