Lagrange Funktion - Nutzenfunktion

05.11.2012, 18:48

Sqancezz

Lagrange Funktion - Nutzenfunktion

Habe folgendes Problem:

Nutzenfunktion N(x1,x2)=x1 ^2 * x2
Nebenbedingung: 9*x1+16*x2-alpha=0

(Gut 1 kostet 9 €, Gut 2 kostet 16 €, alpha ist das Gesamtbudget[es soll komplett ausgegeben werden], es soll maximiert werden)

nun hab ich die Lagrange-funktion aufgestellt:

max L(x1,x2,lamda) = x1 ^2 * x2 + lamda*(9*x1+16*x2 - alpha)

nun hab ich die drei partiellen ableitungen gebildet und Null gesetzt:

2*x1*x2 + 9*lamda = 0
x1 ^2 + 16*lamda= 0
9*x1 + 16*x2 - alpha = 0

aber ich krieg es jetzt einfach nicht hin eine oder zwei variablen zu eliminieren. ich ärger mich grad sehr unglücklich

hab ich schon einen falschen ansatz verwendet?

Danke für eure Hilfe

VG Sqancezz

05.11.2012, 20:15

Kasen75

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Hallo Sqancezz,

du hast folgende Ableitungen raus:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \textcolor{blue}{+ 9* \lambda} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1^2 + \textcolor{blue}{16 \cdot \lambda}= 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich die Ausdrücke mit Lambda (blau) auf die rechte Seite bringen und die dann die erste Gleichung durch die zweite Gleichung teilen.

Mit freundlichen Grüßen.

10.11.2012, 15:35

Sqancezz

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Danke für die Hilfe,

ich habe da noch ein weiteres Problem, die letzte Teilaufgabe lautet:

Weisen Sie nach dass bei der gefunden Mengenkombination der Nutzen maximiert wird.

Hinweis:Wenden Sie Variablensubstitution an.

Benötige ich dafür das lamda?? Wie gehe ich diese aufgabe an. ich habe keine idee... Danke

VG Sqancezz

10.11.2012, 15:55

Kasen75

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Hast du eigentlich für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ einen konreten Wert. Und konntest du dann somit auch für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ einen konkreten Wert bestimmen?

Grüße.

10.11.2012, 16:59

Sqancezz

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Nein leider nicht... alpha ist variabell.

Könnte die Aufgabenstellung darauf hinweiden das man einen konkreten Wert nehmen soll?

also ich hab jetzt für x1= 2/27*alpha raus und für x2= 1/48*alpha

Ist das die Lösung der Lagrange Funktion?! Unter Aufgabe c) steht noch Bestimmen Sie alle kritischen Punkte. Muss ich dafür noch was tun (weil die oben beschriebene Aufgabe bezieht sich auf Aufgabe c))

VG

10.11.2012, 17:39

Kasen75

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Ehrlich gesagt, kann ich im Moment wenig mit der Teilaufgabe anfangen.
Ich werde aber nochmal nachdenken. Werde mich dann morgen nochmal melden, und kundtun ob ich weitergekommen bin.
Die gute Nachricht ist, dass ich das Gleiche für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ heraus habe. smile

Wenn jemand eine Idee hat, bitte.

Grüße.

11.11.2012, 10:25

Kasen75

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Hallo Sqancezz,

mir ist immer noch kein Licht aufgegangen. Wäre gut, wenn du diese Teilaufgabe in einem neuen Thema postest. Vielleicht hat jemand anderes eine Idee.

Mit freundlichen Grüßen.

11.11.2012, 10:49

Mystic

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Ja, meiner Meinung nach steht ihr da beide ein bißchen "auf der Leitung", wie man bei uns sagt... Big Laugh

Höchstwahrscheinlich gemeint ist hier einfach, dass man z.B. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aus der Nebenbedingung in die zu maximierende Funktion einsetzt, womit man dann eine gewöhnliche Extremwertaufgabe in nur einer Variablen erhält... Wink

11.11.2012, 13:37

mYthos

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Zitat:

Original von Sqancezz
...
also ich hab jetzt für x1= 2/27*alpha raus und für x2= 1/48*alpha
...

Das stimmt übrigens.
Der Nachteil der Lagrange-Methode ist immer der, dass genau genommen zur Bestimmung des Extremwerttyps die Definitheit der Hesse-Matrix geprüft werden muss. Man kann natürlich auch die gewonnene Lösung in die Funktion einsetzen und dann nachsehen, ob dann ein Extremum vorliegt und welches.

Man wird daher die Lagrange-Methode bei mehreren Variablen und vorliegenden Nebenbedingungen verwenden oder auch, wenn keine weiteren Nebenbedingungen gegeben sind, um dann wenigstens eine allgemeine Aussage zu treffen.

Bei nur zwei Variablen und einer gegebenen Nebenbedingung ist die "klassische" Extremwertberechnung, wie vordem von Mystic beschrieben, ebenso erfolgreich anzuwenden. Der Vorteil: Mittels des Vorzeichens der 2. Ableitung kann sofort auf die Art des Extremums geprüft werden.

Kritische Punkte, die der Lagrange-Ansatz liefert, sind die trivialen Lösungen x1 = x2 = 0, dabei ist auch $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ und, falls eine Lösung existieren soll, $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ , daher sollte $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen werden.

mY+

29.12.2012, 15:02

lagrangeniete

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rechenweg
Hi kannst du mir bitte mal deine Lösung mit Rechenweg durchschicken ich bekomme es trotz allem einfach nicht hin x1 x2 und lambda raus zu bekommen... hänge nun schon seit 2 tagen damit rum und verzweifle daran. danke

03.01.2013, 12:39

mYthos

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Kasen hat dir den Weg bereits vorgezeichnet. Bitte habe Verständnis dafür, dass wir keine Komplettlösungen geben. Nur so viel:

Mittels des Lagrange-Ansatzes

$\begin{eqnarray*} L(x_1, x_2, \lambda) = x_1^2x_2 - \lambda(9x_1 + 16x_2 - \alpha) \end{eqnarray*}$

und den partiellen Ableitungen, welche Null zu setzen sind

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial L}{\partial x_1} = 2x_1x_2 - 9 \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial L}{\partial x_2} = x_1^2 - 16 \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

entstehen 2 Gleichungen, welche mittels Division sogleich von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ befreit werden können ( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ - Glieder vorher nach rechts bringen). Dadurch entsteht nur noch eine Gleichung in x1, x2, welche zusammen mit der Nebenbedingung zu den Lösungen für x1 und x2 führt.

Kannst du dies bis dahin einmal nachvollziehen? Hast du auch einmal den beschriebenen klassischen Weg verfolgt?

mY+

06.01.2013, 22:05

mathprofi

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Fürs erste ersetzen wir die Variablen x1 und x2 durch x und y. Dies mag primitiv anmuten, bewirkt aber eine übersichtlichere, einfachere Schreibweise!

Zu maximieren ist also die Nutzenfunktion N(x,y)=x^2.y unter der Nebenbedingung 9x+16y=alfa (alfa ist irgendeine positive Fixgröße, die nicht näher bekannt ist.

Am einfachsten löst man diese Aufgabe mit der Schulmethode:
Man stellt aus der Nebenbedingung eine Variable dar und setzt den dafür erhaltenen Term in die Funktion N ein:

Nebenbedingung: y=(alfa-9x)/16
Einsetzen in N: N(x)=x^2.(alfa-9x)/16=alfa.x^2-9x^3

N´(x)=(2x.alfa-27x^2)/16=0
2x.alfa-27x^2=0
x(2alfa-27x)=0

Im 1. Fall ist also x=0.
Im 2. Fall erhält man x=2alfa/27.

Mit der 2. Ableitung von N überprüft man nun, ob ein Maximum vorliegt:
N´´(x)=(2alfa-54x)/16
N´´(0)=2alfa/16 Dies ist positiv, da alfa positiv ist -> Minimum bei x=0!
N´´(2alfa/27)=[2alfa-54(2alfa/27)]/16=-4alfa/16<0 -> Maximum bei x=2alfa/27.
Aus der Nebenbedingung bekommt man y: y=alfa/48
Daraus ergibt sich: N(max)=alfa^3/8748

Wenn immer es möglich ist, sollte dieses Verfahren verwendet werden.
Natürlich kann man auch mit Kanonen auf Spatzen schießen und die Aufgabe nach der Methode von Lagrange lösen. Das ist aber kein Selbstläufer und erfordert etwas mehr mathematisches Wissen:

Man bildet den Lagrange-Ansatz: L(x,y,k)=N(x,y)+k(9x+16y-alfa)
(Weil das Schreiben schneller geht, verwende ich k statt des üblichen lambda!)
Davon bildet man die partiellen Ableitungen und erhält die schon mehrfach erwähnten Gleichungen:

I) 2xy+9k=0
II) x^2+16k=0
III) 9x+16y-alfa=0

II) k=-x^2/16
I) 2xy+9(-x^2/16)=0
2xy-9x^2/16=0
x(2y-9x/16)=0

Dieses Produkt wird nur dann 0, wenn entweder x=0 oder 2y-9x/16=0 ist.
Im 1. Fall ist x=0 und IV) y=alfa/16 (aus III).
Im 2. Fall ist y=9x/32:
III) 9x+16(9x/32)=alfa
x=2alfa/27
IV) y=9(2alfa/27)/32=alfa/48

Nun muss festgestellt werden, ob die Lösungen ein Maximum oder Minimum ergeben.
Dies geht nun auf KEINEN Fall mit Hilfe der Hesse-Matrix, wie in einem Beitrag vorgeschlagen. Damit erhielte man Aussagen über das Extremalverhalten von L(x,y,k), die keine Schlussfolgerungen auf N(x,y) zulassen!
Schlimmstenfalls müssen nun die Umgebungen der erhaltenen Lösungspunkte mit Hilfe von Stetigkeit, Mittelwertsätzen und dgl. Untersucht werden. In unserem Fall geht es glücklicherweise etwas einfacher:
Die Nebenbedingung stellt ja in der x-y-Ebene eine Gerade dar, die die Koordinatenachsen schneidet. Gelten, wie ich annehme, die Beschränkungen x>=0 und y>=0, so bleibt als Nebenbedingung (und damit als Definitionsmenge für N(x,y) nur der zwischen der x- und y-Achse liegende Geradenabschnitt übrig. Dieser bildet eine kompakte Menge und Funktionen über einer solchen Menge besitzen, wenn sie stetig sind (und N(x,y)=x^2.y ist stetig), ein Maximum und ein Minimum.
Für x=0 ist N=0, für x=2alfa/27 ist N=alfa^3/8748
Also liegt bei x=0 das Minimum und bei x=2alfa/27 das gesuchte Maximum!

06.01.2013, 22:43

mYthos

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@mathprofi

Ich möchte dich auf unser Boardprinzip hinweisen. Demnach sind Komplettlösungen bzw. umfassende Durchrechnungen der geposteteten Aufgaben NICHT gestattet.

Im Falle der Nichtbeachtung wird die Moderation die in Betracht kommenden Textstellen im Beitrag entfernen.
_____________

Der Sinn deines langen Beitrages erschließt sich nicht ganz, denn er bringt im Wesentlichen nichts Neues. Die klassische Methode (ohne Lagrange) wurde ebenso bereits angesprochen wie auch der Lösungsweg nach Lagrange. Und komplette Rechenwege sollen hier - wie gesagt - nicht gegeben werden.

mY+

07.01.2013, 10:58

mathprofi

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Entschuldigung! Ich wollte nur helfen.
Löschen Sie bitte meinen Beitrag!
Bye.

07.01.2013, 15:33

mYthos

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Dein Beitrag ist ja nicht schlecht, ich werde ihn daher auch nicht löschen. Übrigens löschen wir prinzipiell keine Beiträge. Nur bei groben Regelverstößen können sie einen nicht öffentlichen Bereich verschoben werden.

Du musst dich auch nicht traurig zurückziehen, gute Hilfe wird immer gerne gesehen.
Und es ist schön, dass du dich dazu berufen fühlst.
Ich habe dich doch lediglich auf die Boardprinzipien aufmerksam gemacht.

Willkommen

Gr
mY+

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