Vektorgleichung im Parallelogramm

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05.11.2012, 21:07	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorgleichung im Parallelogramm Hallo, kann mir jemand den Ansatz zu dieser Aufgabe geben? Ich verstehs einfach nicht... Durch die Eckpunkte A, B, C und D (im entgegengesetzten Uhrzeigersinn) werde ein Parallelogramm aufgespannt. Man Zeige $\begin{eqnarray} 2(\|\|\vec{AB}\|\|^2+\|\|\vec{BC}\|\|^2) = \|\|\vec{AC}\|\|^2+\|\|\vec{BB}\|\|^2 \end{eqnarray}$ Wenn jetzt auflöse (soweit ichs kann): $\begin{eqnarray} 2\vec{AB}\cdot\vec{AB}+2\vec{BC}\cdot\vec{BC} = \vec{AC}\cdot\vec{AC}+\vec{BB}\cdot\vec{BB} \end{eqnarray}$ Aber wie mache ich jetzt weiter?
06.11.2012, 12:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechts steht die Summe der Quadrate der Diagonalen. Die Diagonalen-Vektoren sind e = a + b und f = a - b, wenn a = AB und b = BC Bilde jetzt e² + f² = (a + b)² + (a - b)² und vergleiche mit 2(a² + b²) Infolge der Distributivität der skalaren Multiplikation und der Tatsache $\begin{eqnarray} { \| \vec v} \| ^2 = {\vec v} \ ^2 \end{eqnarray}$ kann nun der Satz sofort und leicht bewiesen werden. mY+
06.11.2012, 13:38	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab das jetzt mal versucht, aber irgendwie hab ichs anscheinend noch nicht verstanden: $\begin{eqnarray} \vec{E}=\vec{AB}+\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F}=\vec{AB}-\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{E}^2+\vec{F}^2=(\vec{AB}+\vec{BC})^2-(\vec{AB}-\vec{BC})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{AB}+\vec{BC})^2-(\vec{AB}-\vec{BC})^2=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{AB}\cdot\vec{AB}+\vec{BC}\cdot\vec{BC})-(\vec{AB}\cdot\vec{AB}-\vec{BC}\cdot\vec{BC})=2(\vec{AB}\cdot\vec{AB}+\vec{BC}\cdot\vec{BC}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AB}\cdot\vec{AB}+\vec{BC}\cdot\vec{BC}-\vec{AB}\cdot\vec{AB}+\vec{BC}\cdot\vec{BC}=2\vec{AB}\cdot\vec{AB}+2\vec{BC}\cdot\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\vec{BC}\cdot\vec{BC}=2\vec{AB}\cdot\vec{AB}+2\vec{BC}\cdot\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AB}\cdot\vec{AB}=0 \end{eqnarray}$ Aber irgendwie kann ich keinen Zusammenhang erkennen?
06.11.2012, 15:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich hast du das Quadrat falsch berechnet. Sind dir die binomischen Formeln für (a + b)² bzw. (a - b)² bekannt? mY+
06.11.2012, 17:44	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ja sind sie wohl..., werde es gleich nochmal versuchen, danke.
06.11.2012, 19:48	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
So noch ein Versuch, aber wirklich weiter komm ich auch nicht... $\begin{eqnarray} \vec{E}=\vec{AB}+\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F}=\vec{AB}-\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{E}^2+\vec{F}^2=(\vec{AB}+\vec{BC})^2-(\vec{AB}-\vec{BC})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{AB}+\vec{BC})^2-(\vec{AB}-\vec{BC})^2=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AB}^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2-(\vec{AB}^2-2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2)=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AB}^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2-\vec{AB}^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}-\vec{BC}^2=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4\vec{AB}\cdot\vec{BC}=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$
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06.11.2012, 20:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich habe mich beim Vorzeichen verschrieben (nur Schreibfehler), siehe nochmals auf die Angabe ganz zu Beginn: Da steht rechts bei den Diagonalen eindeutig ein PLUS, kein Minus. Somit fallen (anstatt 4ab) diese ab weg und die a² und b² addieren sich zu 2a² + 2b² ... und schon bist du fertig! mY+
06.11.2012, 20:34	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{E}=\vec{AB}+\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F}=\vec{AB}-\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{E}^2+\vec{F}^2=(\vec{AB}+\vec{BC})^2+(\vec{AB}-\vec{BC})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{AB}+\vec{BC})^2+(\vec{AB}-\vec{BC})^2=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AB}^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2+\vec{AB}^2-2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2)=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ Aber wie komme ich jetzt auf: $\begin{eqnarray} \|\|\vec{AC}\|\|^2+\|\|\vec{BB}\|\|^2 \end{eqnarray}$ Danke!
06.11.2012, 20:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll eigentlich $\begin{eqnarray} \vec{BB} \end{eqnarray}$ bei dir bedeuten? _________________ Du bist doch schon fertig! Denn das, was du bei der Addition jetzt rechts herausbekommen hast, ist gleich der linken Seite der Angabe (Doppelte Summe der Quadrate der Seitenvektoren).
06.11.2012, 20:40	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Das weiß ich selber nicht, steht aber so in der Aufgabe: //EDIT: So ein misst! Ich geb dir mein Wort, dass bei mir auf dem ausgedruckten Blatt von Sonntag BB steht , die ham anscheinend schon wieder was im nachhinein geändert. //EDIT2: Dann wäre die Frage wie komme ich auf: $\begin{eqnarray} \|\|\vec{AC}\|\|^2+\|\|\vec{DB}\|\|^2 \end{eqnarray}$ Und muss ich überall noch die Betragsstriche hinmachen?
06.11.2012, 20:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir sagen lassen, dass die doppelten Betragszeichnen u.U. notwendig sind, wenn es sich um eine Norm auf die Betragsfunktion handelt. Ich hatte bis jetzt aber nur die euklidische Norm, mit anderen Worten, die Länge der Vektoren im Sinne. ______________________ Das, auf was du kommen willst, haben wir von Anfang angenommen, also die rechte Seite, denn Vektor AC = Vektor E und Vektor DB = Vektor F. Von hier ausgehend, wurde die linke Seite bewiesen, das Ergebnis der Umrechnung ist also 2*(\|AC\|² + \|BC\|²)
06.11.2012, 21:19	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, kenne die Betragsstriche eigentlich auch nur als Länge. Ich würde das jetzt so aufschreiben, ist das okay so? $\begin{eqnarray} 2(\|\|\vec{AB}\|\|^2+\|\|\vec{BC}\|\|^2) = \|\|\vec{AC}\|\|^2+\|\|\vec{DB}\|\|^2 \Leftrightarrow 2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) = \vec{AC}^2+\vec{DB}^2 \end{eqnarray}$ Rechts steht die Summe der Quadrate der Diagonalen. Die Diagonalen-Vektoren sind: $\begin{eqnarray} \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DB}=\vec{AB}-\vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AC}^2+\vec{DB}^2=(\vec{AB}+\vec{BC})^2+(\vec{AB}-\vec{BC})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{AB}+\vec{BC})^2+(\vec{AB}-\vec{BC})^2=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AB}^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2+\vec{AB}^2-2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2)=2(\vec{AB}^2+\vec{BC}^2) \end{eqnarray}$ Und dann mal morgen in der Übung schauen, wie der Übungsleiter das macht.
06.11.2012, 21:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So passt es meiner Meinung nach. Vielleicht wird bei den doppelten Betragsstrichen gemeckert, aber das ist hier im Prinzip nur Kosmetik. mY+
06.11.2012, 21:41	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, Punkte gibt es für die Aufgabe ja eh nicht. Aber wenn ich mich nicht vorher mit den Aufgaben beschäftige verstehe ich in der Übung nur Bahnhof Vielen Dank!!!

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