Differenzierbarkeit auf den reellen Zahlen an der Stelle 0

06.11.2012, 08:02

Womanpower

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Differenzierbarkeit auf den reellen Zahlen an der Stelle 0

Meine Frage:
Hallöchen,

meine Aufgabe lautet: Untersuchen Sie, welche der folgenden auf ganz definierten Funktionen an der Stelle 0 differenzierbar sind, und berechnen Sie gegebenfalls die jeweilige Ableitung an der Stelle:
i) $\begin{eqnarray*} f_{1}(x)=\sqrt{|x|} ; \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=|x|^{\frac{3}{2} }; \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} f_{3}(x)=1+x \end{eqnarray*}$ , falls x < 0
exp(x), falls $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$
iv) $\begin{eqnarray*} f_{4}(x)=x\cdot\sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$
und 0, $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
Meine Ideen:
Nun kenne ich Differenzierbarkeit so, dass grafisch eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert. Außerdem wenn die Funktion differenzierbar ist, dann folgt automatisch, dass sie stetig ist. Nun reicht das alles hier leider nicht. Deswege bitte ich um Hilfe, danke.

06.11.2012, 15:19

magic_hero

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Ihr ja ja Differenzierbarkeit sicherlich in der Vorlesung definiert, und zwar über die Existenz des Grenzwerts eines sog. Differenzenquotienten. Setze deine Funktionen nun entsprechend in die Definition ein und beachte, dass die Stelle, in der du Differenzierbarkeit untersuchen willst, 0 ist!

06.11.2012, 17:07

Womanpower

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Also ich soll die Funktion in den Differenzenquotienten einsetzen? Ich glaube das ist nicht mit der Definition gemeint.
Aber pruefen muss ich doch die Differenzierbarkeit an der Stelle Null? Mit dem Differenzenquotienten? Koennte mir das vielleicht jemand illustrieren bitte?

06.11.2012, 17:31

magic_hero

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Wahrscheinlich habe ich mich etwas zu ungenau ausgedrückt, also:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wenn der folgende Grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{eqnarray*}$
(bzw. reicht natürlich auch ein kleinerer Definitionsbereich als die reellen Zahlen, z.B. ein offenes Intervall D, wobei x_0 dann natürlich aus aus D sein muss)

Du willst jetzt Differenzierbarkeit in 0 prüfen; also ist bei dir $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Nun schau dir diese Grenzwerte an für deine gegebenen Funktionen f. Wenn der Grenzwert existiert, dann ist das jeweilige f in 0 diff'bar.

07.11.2012, 08:19

Womanpower

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Der gute Wikipedia-Artikel Big Laugh

Big Laugh

das kenn ich schon danke smile

smile

Oki dann berechnen wir doch mal den Grenzwert explizit für i) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$
was sagt uns das jetzt $\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|}=0 \end{eqnarray*}$

07.11.2012, 08:23

Womanpower

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somit haben wir doch dann stehen $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{x}}{x} \end{eqnarray*}$ und jetzt?

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07.11.2012, 10:42

magic_hero

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Der Limes fehlt noch.... außerdem steht das nur da, falls x>0, aber das kannst du hier (in diesem speziellen Fall) gerne mal annehmen. Was ist denn jetzt, wenn du x gegen 0 laufen lässt? Beachte im Nenner noch $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{x}\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2012, 14:01

Womanpower

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okay also dann $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} } =\frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ also konvergiert es gegen Null?

07.11.2012, 15:02

Womanpower

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Zitat:

Original von magic_hero
Wahrscheinlich habe ich mich etwas zu ungenau ausgedrückt, also:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wenn der folgende Grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{eqnarray*}$
(bzw. reicht natürlich auch ein kleinerer Definitionsbereich als die reellen Zahlen, z.B. ein offenes Intervall D, wobei x_0 dann natürlich aus aus D sein muss)

Du willst jetzt Differenzierbarkeit in 0 prüfen; also ist bei dir $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Nun schau dir diese Grenzwerte an für deine gegebenen Funktionen f. Wenn der Grenzwert existiert, dann ist das jeweilige f in 0 diff'bar.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0} } }{x-x_{0} } \end{eqnarray*}$

wenn ich das aber ausfuehre, dann habe ich gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle Null exisitiert. Damit habe ich aber nicht gezeigt, dass der Grenzwert exisitert. Somit habe ich doch aus der Behauptung aus bewiesen und das ist nicht korrekt, oder? Wie zeige ich aber die Existenz des Grenzwertes?

07.11.2012, 15:50

magic_hero

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Zitat:

Original von Womanpower
okay also dann $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} } =\frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ also konvergiert es gegen Null?

Mit Sicherheit konvergiert dieser Ausdruck für x gegen 0 nicht gegen 0.

Zitat:

Original von Womanpower
wenn ich das aber ausfuehre, dann habe ich gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle Null exisitiert. Damit habe ich aber nicht gezeigt, dass der Grenzwert exisitert. Somit habe ich doch aus der Behauptung aus bewiesen und das ist nicht korrekt, oder? Wie zeige ich aber die Existenz des Grenzwertes?

Die Ableitung an der Stelle 0 existiert genau dann, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle 0 existiert. In diesem Fall ist der Grenzwert dann die Ableitung in 0, d.h.:
$\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist es dementsprechend zu zeigen, dass der Grenzwert an der Stelle 0 existiert. Das kann man aber gleich damit verbinden, dass man den Grenzwert ggf. ausrechnet.

Jetzt stell dir zunächst noch mal die Frage bei Teilaufgabe a), ob der Grenzwert denn wirklich existiert, indem du dir noch mal über den Grenzwert des Ausdrucks in deinem vorletzten Beitrag machst. Bestimme also, falls möglich: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ (wobei das nur für positive x geht, weil der Ausdruck andernfalls undefiniert wäre).

08.11.2012, 03:21

Der Ehrgeizige

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{x} }-0 | < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x} } < \epsilon \Rightarrow 1 < \epsilon \cdot \sqrt{x} \Rightarrow \frac{1}{\epsilon^{2} } < x \end{eqnarray*}$
jetzt kann ich mein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen und ja es existiert der Grenzwert und er ist Null.

08.11.2012, 08:36

RavenOnJ

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@Ehrgeizige
Du bringst da was durcheinander.

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}{\frac{1}{\sqrt x}} \end{eqnarray*}$ existiert natürlich nicht. Wie sollte er? Der Ausdruck strebt über alle Grenzen.

Gruß
Peter

08.11.2012, 08:38

JuKa91

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Hallo ich habe mit Hilfe der h-Behauptung gearbeitet und bekam die eigentliche Ableitung von der Behauptung i) raus.

08.11.2012, 08:43

Der Ehrgeizige

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So muss es auch gehen. Das ist korrekt...

08.11.2012, 08:49

RavenOnJ

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wie wär's, wenn ihr euch die Funktion mal grafisch vorstellt? $\begin{align*} y=\sqrt x \end{align*}$ sollte bekannt sein. Sie hat eine senkrechte Tangente im Punkt 0. $\begin{align*} f(x) =\sqrt{|x|} \end{align*}$ ist nichts anderes als $\begin{align*} \sqrt{x} \end{align*}$ und dasselbe nochmal an der y-Achse gespiegelt für negative x, zwar im Punkt 0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Gruß
Peter

08.11.2012, 08:52

Un-aachen

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Hallo, dass würde mich mal interessieren wie ein richtiger Lösungweg aussieht

Muss man eigentlich dann den grenzwert einmal von x>0 und einmal von x<0 berechnen und wenn diese gleich sind ist die Fkt an der Stelle x0 dff'bar ?

Danke :-)

08.11.2012, 09:01

RavenOnJ

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Ich nehme an, du meinst die Grenzwerte des Differenzenquotienten (DQ). Natürlich muss man beide Grenzwerte bilden. Beide müssen existieren, müssen also beschränkt sein. (diese Bedingung ist bei $\begin{align*} \sqrt{|x| } \end{align*}$ am Punkt 0 verletzt) Außerdem müssen rechts- und linksseitiger Grenzwert des DQ gegen denselben Wert streben (diese Bedingung wäre bei $\begin{align*} |x| \end{align*}$ am Punkt 0 verletzt).

Gruß
Peter

08.11.2012, 09:06

Womanpower

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Zitat:

Original von RavenOnJ
wie wär's, wenn ihr euch die Funktion mal grafisch vorstellt? $\begin{align*} y=\sqrt x \end{align*}$ sollte bekannt sein. Sie hat eine senkrechte Tangente im Punkt 0. $\begin{align*} f(x) =\sqrt{|x|} \end{align*}$ ist nichts anderes als $\begin{align*} \sqrt{x} \end{align*}$ und dasselbe nochmal an der y-Achse gespiegelt für negative x, zwar im Punkt 0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Gruß
Peter

Ohje stimmt wie blöd bin ich... (danke)

08.11.2012, 09:11

Womanpower

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Vllt möchte ja jemand dies mal zeigen, weil ich kriege das nicht raus unglücklich

unglücklich

Gott

die anderen Beispiele würde ich alleine versuchen, wenn ich mal etwas richtiges auf'm Papier habe und mich Anhand dessen orientieren kann.

08.11.2012, 09:26

RavenOnJ

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Dein Ansatz, mit dem du letztendlich auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\frac{1}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ gekommen bist, war doch gut. Du hättest dann nur noch diesen Limes richtig behandeln müssen (Zähler konstant, Nenner geht gegen 0 --> Limes geht gegen Unendlich). Dasselbe könntest du für negative x machen, ist hier aber unnötig, da schon der rechte Grenzwert des DQ nicht existiert.

Gruß
Peter

08.11.2012, 09:30

Womanpower

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Zitat:

Original von Womanpower
Vllt möchte ja jemand dies mal zeigen, weil ich kriege das nicht raus unglücklich

unglücklich

Gott

die anderen Beispiele würde ich alleine versuchen, wenn ich mal etwas richtiges auf'm Papier habe und mich Anhand dessen orientieren kann.

Nun und wie mache es mit dem Limes verwirrt

verwirrt

Gott

Zähler konstant, Nenner geht gegen 0, Limes geht gegen Unendlich unglücklich

unglücklich

08.11.2012, 09:36

RavenOnJ

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dieser Limes geht - wie schon mehrfach gesagt! - gegen Unendlich, d.h. er existiert nicht! Stell dir doch beispielsweise mal die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ um den Punkt 0 vor.

Gruß
Peter

08.11.2012, 09:38

Womanpower

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Ja die Funktion divergiert.. Ich weiß trotzdem nicht wie ich das aufschreiben.

08.11.2012, 09:41

Un-aachen

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Nach dem ganzen hin und her habe ich auch kein Plan mehr :-(

Also ich habe beide Grenzwerte gebildet und die sind unterschiedlich , also ist die Funktion in x0 nicht differenzierbar :-) hoffentlich

08.11.2012, 09:46

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Womanpower
Ja die Funktion divergiert.. Ich weiß trotzdem nicht wie ich das aufschreiben.

was meinst du damit? "Limes existiert nicht" oder "Limes strebt gegen Unendlich", das ist alles, was soll man da mehr schreiben? Vielleicht drückst du dich mal klarer aus.

Gruß
Peter

08.11.2012, 09:48

Womanpower

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Eine Musterlösung für i) deinerseits wäre super.. Freude

Freude

08.11.2012, 09:51

Un-aachen

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Bei dem lim gegen unendlich strebt die fkt gegen null und bei einem lim gegen null 0 strebt die fkt gegen unendlich.

08.11.2012, 09:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Womanpower
Eine Musterlösung für i) deinerseits wäre super.. Freude

Freude

Also, ich finde, ich habe hier schon genug Energie reingesteckt. Lies dir meine Posts einfach nochmal durch. Dann solltest du dir die Lösung selber aufschreiben können. Mehr als ich geschrieben habe, kann ich nicht dazu sagen.

Gruß
Peter

08.11.2012, 09:58

Un-aachen

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1/x strebt bei x gegen null gegen unendlich und dass heißt die fkt ist in null nicht differenziebar ? Eigentlich ja nicht oder denken wir zu kompliziert ............

Danke Peter für dein bemühen ... super hilfsbereit .... danke :-)

08.11.2012, 10:02

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hat an der Stelle 0 eine Polstelle (d.h. strebt über alle Grenzen), kann also dort auch keine Ableitung haben.

Gruß
Peter

08.11.2012, 10:12

Un-aachen

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Und dass sollte man zeigen oder wie ? Mehr nicht ?

08.11.2012, 10:18

RavenOnJ

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Es ging bei der Aufgabe zwar nicht um 1/x (das war nur ein Beispiel für einen nicht-existierenden Limes), aber im Prinzip ging es bei Aufgabe i) genau darum, mehr nicht. Allerdings beim Differenzenquotienten, nicht bei der Funktion selber!

Gruß
Peter

08.11.2012, 10:26

Un-aachen

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Hmmm okay danke :-) schon früh am Morgen Hilfe zu bekommen ist super

08.11.2012, 12:12

Un-aachen

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Also habe mit Hilfe der h Methode raus 1/2sqrt(x) .... das guckt man sich dann an von unendlich bis minus unendlich.... und die ist dann nicht differenzierbar .....

08.11.2012, 13:50

Un-aachen

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verwirrt

traurig

08.11.2012, 13:57

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{|x|} \Rightarrow \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f'(x_{0} )=\frac{dy}{dx} |_{x_{0} } =\lim_{x \to x_{0} } \frac{\sqrt{x} -\sqrt{x_{0} } }{x-x_{0} } = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } (\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}) } }{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0} } } )} )=\lim_{x \to x_{0} } (\frac{1}{\sqrt{x} +\sqrt{x_{0} } } ) =(\frac{1}{2\sqrt{x_{0} } } ) \end{eqnarray*}$
so puuu

edit von sulo: Habe einen Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit des Threads eingefügt.

08.11.2012, 15:50

magic_hero

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Was du da zuletzt berechnet hast, ist zwar soweit richtig, wurde in der Aufgabe aber gar nicht gefordert (es wird nur nach Differenzierbarkeit in 0 gefragt!).

Zitat:

Original von Un-aachen
Also habe mit Hilfe der h Methode raus 1/2sqrt(x) .... das guckt man sich dann an von unendlich bis minus unendlich.... und die ist dann nicht differenzierbar .....

Ich verstehe deine Aussagen nicht wirklich.
Die ursprünglich Funktion $\begin{eqnarray*} f_{1}(x)=\sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ ist für x>0 (und auch für x<0) differenzierbar. Schließlich hast du ja auch die Ableitung angegeben für x>0. Gefordert ist aber laut Aufgabenstellung, Differenzierbarkeit in 0 zu prüfen. D.h. bei der "h-Methode" ist deine Stelle auch eine ganz spezielle, nämlich x=0.

08.11.2012, 17:10

Auch

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Hallo, bin auch an der Aufgabe... Blicke nicht mehr ganz durch, ist die Funktion denn jetzt überhaupt in 0 differenzierbar, oder nicht? Also die Begründung für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{\left | x \right |}} \end{eqnarray*}$ könnte ich nachvollziehen, denn je näher man mit x an 0 geht, desto größer wird das Ergebnis. Also ist die Funktion nicht in 0 differenzierbar? Irgendwie hatte ich jetzt das Gefühl, alle hätten was anderes geschrieben. Und ob h- oder x-Methode ist doch eigentlich egal, denke ich.

08.11.2012, 17:21

magic_hero

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Die Funktion aus Teil a) ist nicht differenzierbar in 0, weil der eben von dir erwähnte Grenzwert nicht existiert (so sagt man auch, wenn ein Grenzwert "unendlich" ist).

08.11.2012, 17:26

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Auch
Irgendwie hatte ich jetzt das Gefühl, alle hätten was anderes geschrieben. Und ob h- oder x-Methode ist doch eigentlich egal, denke ich.

vielleicht hörst du nicht auf alle, sondern auf die, die etwas mehr Ahnung haben. Ich habe schon lang und breit auseinandergesetzt, warum diese Funktion bei 0 nicht differenzierbar ist.

Gruß
Peter

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