Formulierungsfrage Kern(f)=Bild(f) |
06.11.2012, 13:06 | Mbra771 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Formulierungsfrage Kern(f)=Bild(f) ich habe hier eine Aufgabe zu einer linearen Abbildung f und eigentlich weiß ich schon wie ich die Aufgabe zu lösen habe. Nur eine Formulierung lässt mich etwas stutzen: Also: Sei K ein Körper und sei V=(1,T,T^2,T^4,T^6) 1. Def. Sie eine lineare Abbildung f: V nach V mit Kern(f)=Bild(f) Kern(f)=Bild(f) ??? Ist dabei gemeint Dim(Kern(f))=Dim(Bild(f))? ... weil m.M. nach doch nicht der Kern(f) mit dem Bild(f) übereinstimmen kann. Ansonsten würde ja alles stimmen, Dim(V)ist durch 2 teilbar usw. Grüße, Micha |
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06.11.2012, 13:31 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also im Vektorraum gilt die Gleichung für alle Funktionen. Ansonsten ist sie aber im Allgemeinen falsch. Es hängt schon explizit von der Funktion selbst ab. Was genau ist denn in der Aufgabe mit V=(1,T,T^2,T^4,T^6) gemeint? Ich sehe etwa keine 0, wie soll V dann ein Vektorraum sein? |
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06.11.2012, 13:46 | Mbra771 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich schreibe mal die komplette Aufgabe, bin aber leider unterwegs, weshalb ich wegen fehlender Javaunterstützung nicht den Formeleditor nutzen kann. Ich versuche mal die Aufgabe als Bild anzuhängen: |
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06.11.2012, 14:00 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also wir haben den Vektorraum der Polynome in K und betrachten eine Teilmenge davon. Aber da haben wir schonmal das grundsätzliche Problem warum ich verwirrt war. In der Aufgabenstellung steht sprich, wir betrachten die lineare Hülle und da ist die 0 mit drin. Ich kann dir ja mal ein Beispiel für eine Funktion mit ker(f) = bild(f) für den Vektorraum zeigen (über den reellen Zahlen). Die Funktion leistet genau das. Denn für . Da aber für alle dann ist für entsprechendes c, folgt . Andererseits, wenn ist, dann ist für entsprechendes T und damit So, jetzt überleg mal wie man das allgemein für deinen Fall formuliert. Du musst nur schauen das zum Beispiel der Ableitungsbegriff direkt für allgemeine Körper eventuel keinen Sinn macht. |
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06.11.2012, 14:21 | Mbra771 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Mazze, vielen Dank für die Mühe, die du dir mit deiner Antwort gemacht hast. Ich hoffe ich verstehe dich richtig und versuche mal einen Lösungsansatz: f(1)=0 f(T^2)=0 f(T^4)=1 f(T^6)=T^2 Dann hätte ich eine Abbildung von V nach V und da f(T^4)=1 ist und 1 auf 0 abgebildet wird, also Element Kern ist und f(T^6)=T^2 ist und T^2 auf 0 abgebildet wird, also Element des Kerns ist... sollte wenn ich das jetzt richtig verstanden habe das Problem gelöst sein ;-))) Grüße, Micha PS: Hoffe du antwortest mit JA |
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06.11.2012, 14:23 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sehr schön. Und in einem vierdimensionalen Vektorraum ist eine lineare Abbildung natürlich durch 4 linear unabhängige Vektoren eindeutig definiert . |
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06.11.2012, 14:25 | Mbra771 | Auf diesen Beitrag antworten » |
JUPPPIIIIIII !!!!! Mathe macht glücklich! |
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12.11.2012, 15:34 | themaktima | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe mal mit gelesen. Sehr interessante Lösung und absolut elegant! Jedoch eine Sache die ich nicht verstehe: Wenn du sagt f(T^6)=T^2, dann bildet f mit T^6 aus V auf T^2 aus V ab. D.h. wenn f mit T^6 aus V auf T^2 aus V abbildet, wird T^2 doch nicht automatisch 0, oder doch? Das klingt nach Rekursion, oder ich übersehe etwas Grundlegendes. Wäre es möglich mir das zu erläutern? Besten Dank und Grüße, David |
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12.11.2012, 15:54 | themaktima | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah, ich glaube ich hab's! Es geht tatsächlich nur um die Abbildung, nicht darum wie V aussieht, denn Bild(f) und Kern(f) haben auch ja ausschließlich mit f zu tun, nicht mit V. D.h. wenn ich also sage f(T^6) = T^2 so ist das so lange schön und gut wie auch f(T^2) definiert ist. Korrekt? Danke! |
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