Erzeugendensystem aus drei Vektoren bilden

06.11.2012, 13:20

Ospina

Erzeugendensystem aus drei Vektoren bilden

Meine Frage:
Folgende Aufgabe ist gegeben:

Geben Sie einen zusätzlichen vierten Vektor an, so dass sich zusammen mit den drei Vektoren ein Erzeugendensystem für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ergibt! Begründen Sie die Antwort.

$\begin{eqnarray*} [\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich steh bei dieser Aufgabe ein wenig auf dem Schlauch. Der vierte Vektor muss eine Linearkombination aus den anderen dreien sein oder ?
Kann ich also die Vektoren alle mit 1 multiplizieren und dann addieren? Das müsste dann doch einen linear abhängigen Vektor ergeben

06.11.2012, 13:22

lgrizu

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RE: Erzeugendensystem aus drei Vektoren bilden
Nein, er darf ebend keine Linearkombination aus den dreien sein, denn dann läger er ja wieder in der von den drei Vektoren aufgespannten linearen Hülle.

Zuerst einmal die Frage, welche Dimension hat denn der von den drei Vektoren erzeugte Unterraum des IR³ ?

06.11.2012, 13:32

Ospina1

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Da es sich scheinbar um den dreidimensionalen Raum handelt, würde ich jetzt mal sagen 3?

Kann ich im dreidimensionalen Raum überhaupt einen vierten Vektor finden der linear unabhängig ist ?

06.11.2012, 13:37

lgrizu

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Prüf doch erst einmal, ob die Vektoren linear unabhängig sind, das sind sie nämlich nicht, also spannen sie einen Unterraum der Dimension 2 auf.....

06.11.2012, 13:49

Ospina2

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Jetzt steh ich noch fester auf dem Schlauch.

Ich kann jeweils zwei der Vektoren nicht so multiplizieren, dass der dritte rauskommt. Also sind sie doch linear unabhängig ?

06.11.2012, 13:57

klarsoweit

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Da irrst du dich. Du kannst die beiden ersten Vektoren so linear kombinieren, daß der 3. Vektor rauskommt.

06.11.2012, 14:18

Ospina3

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Stimmt, aber dann müsste ich doch auch den zweiten und den dritten kombinieren können, so dass der erste rauskommt oder hab ich das falsch verstanden?

Und wieso spannen sie dann einen Raum der Dimension 2 auf wenn sie doch l.a. sind?

06.11.2012, 16:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ospina3
Und wieso spannen sie dann einen Raum der Dimension 2 auf wenn sie doch l.a.
sind?

sie spannen einen Unterraum einer Dimension kleiner als 3 auf, weil sie linear abhängig sind. Wären sie nämlich linear unabhängig, dann würden sie eine Basis von $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ bilden.

Addiere doch einfach mal den 2. und den 3. Vektor. Was bekommst du?

Gruß
Peter

06.11.2012, 22:49

Ospina-

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ja ich erhalte nicht den 1. ... unglücklich

heißt das nicht, dass sie linear unabhängig sind? oder versteh ich die Definition falsch?

07.11.2012, 00:45

RavenOnJ

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Du erhältst nicht den ersten Vektor, aber ein Vielfaches des ersten. Du hast damit zwei linear unabhängige Vektoren, z.B. den ersten ( $\begin{align*} \vec{v_1} \end{align*}$ ) und den zweiten ( $\begin{align*} \vec{v_2} \end{align*}$ ). Du kannst die lineare Unabhängigkeit zeigen, indem du die Gleichung $\begin{align*} a\vec{v_1} + b\vec{v_2} = 0 \end{align*}$ löst und zeigst, dass die einzige Lösung für (a,b) die (0,0) ist. Diese spannen also einen 2-dimensionalen linearen Unterraum von $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ auf.

Gruß
Peter

07.11.2012, 08:45

lgrizu

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Zitat:

Original von Ospina3
Stimmt, aber dann müsste ich doch auch den zweiten und den dritten kombinieren können, so dass der erste rauskommt oder hab ich das falsch verstanden?

Und wieso spannen sie dann einen Raum der Dimension 2 auf wenn sie doch l.a. sind?

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} =-3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann die Frage:

Wie ist die Dimension eines Vektorraums definiert?

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