Modulo

06.11.2012, 16:26

Hagen

Modulo

Meine Frage:
Berechne $\begin{eqnarray*} 10^{(10^{10})} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das Problem hierbei ist der doppelte Exponent, den man ja nicht modulieren darf. Die Basis geeignet aufzusplitten ist hier auch nicht vorteilhaft, da $\begin{eqnarray*} 10<17 \end{eqnarray*}$ . Ein kleiner Denkanstoss würde mir sshr helfen.

06.11.2012, 16:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

"Berechnen" ist gut. Eigentlich ist das ja schon eine Art passendes Endergebnis - vielleicht wollen die einfach nur, dass du den Exponenten potenzfrei schreibst. Die gesamte Zahl potenzfrei aufzuschreiben wäre ein bisschen viel verlangt. Augenzwinkern

EDIT: Was soll das mit der 17 ? Sollst du am Ende nicht $\begin{eqnarray*} 10^{10^{10}} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 10^{10^{10}} \bmod 17 \end{eqnarray*}$ berechnen??? Forum Kloppe

06.11.2012, 16:41

Hagen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich entschuldige mich für meine Ungenauigkeit, der Ausdruck soll mod 17 betrachtet werden. Ohne diese entscheidende Info ist meine Idee auch schwachsinnig. Tut mir Leid. Vielleicht hast du trotzdem eine Idee bei dem jetzt "neuen" Problem.

06.11.2012, 16:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie so oft bei solchen Modulo-Betrachtungen von riesigen Potenzen hilft die aus dem Satz von Fermat-Euler hervorgehende Folgerung:

Zitat:

Für teilerfremde Zahlen $\begin{eqnarray*} a,m \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} k\equiv n\bmod \varphi(m) \quad \Longrightarrow \quad a^k \equiv a^n \bmod m \end{eqnarray*}$ .

Kann hier wunderbar angewandt werden auf $\begin{eqnarray*} a=10,m=17 \end{eqnarray*}$ , indem man einfach mal ausrechnet, was bei $\begin{eqnarray*} 10^{10} \bmod 16 \end{eqnarray*}$ herauskommt.

06.11.2012, 17:05

Hagen

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für den hilfreichen Tipp. Ich poste mal meine Lösung zur Kontrolle: ( $\begin{eqnarray*} \varphi(17)=16 \end{eqnarray*}$ , da 17 prim )
Es ist $\begin{eqnarray*} 0 \equiv 10^{10} \bmod 16 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 4 \equiv 10^2\bmod 16 \end{eqnarray*}$ . Damit fogt mit dem Satz, dass $\begin{eqnarray*} 10^0 \equiv 10^{(10^{10})} \bmod 17 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} 1 \equiv 10^{(10^{10})} \bmod 17 \end{eqnarray*}$ .

06.11.2012, 17:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, so einfach geht das.

Neue Frage »

Antworten »

Modulo

Verwandte Themen