Fallunterscheidung - Parameter...

06.11.2012, 18:20

Neatfreak

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Fallunterscheidung - Parameter...

Hallo,

wäre richtig froh wenn mir jemand schnell erklären könnte wieso es solche komische Lösungen in meine Lösungsbuch hat. heh
Hab morn eine Prüfung über Gleichungen mit Parameterwerten, es kommen aber auch Textaufgaben, und war so mit den Textaufgaben vertieft das ich vergass die Gleichungen zu üben.

$\begin{eqnarray*} (m+1)x = 2 \end{eqnarray*}$

also auf X kann ich auflösen, das gibt einfach

$\begin{eqnarray*} x=2/(m+1) \end{eqnarray*}$

aber im Lösungsbuch steht.

$\begin{eqnarray*} m=-1 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} L= ( ) \end{eqnarray*}$
m (ungleich) -1 -> L= die Lösung von oben

Hab etwa 15 Solche aufgaben, die mir Unklar sind wie ich überhaupt den andren Buchstaben herausfinden soll.

Hoffe jemand kann mir eine Erklärung geben.

Gruss
-N

06.11.2012, 18:26

kgV

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Naja, denk mal nach was, passiert, wenn m -1 wird...
Was darf im Nenner eines Bruchs nie stehen?
Lg
kgV
Wink

Wink

06.11.2012, 18:31

Neatfreak

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Danke für die schnelle Antwort, also irgendwie mag ich nicht mehr...ich sehs nicht ganz Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} (m+1)x=2 \end{eqnarray*}$ heisst das ich kann eifach das +1 rüber nehem und ein -1 machen?

oder muess am schluss einfach
M= -1 stehen?

06.11.2012, 18:34

kgV

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Du denkst zu kompliziert:
Wenn m=-1, was ergibt dann die Klammer?
Warum macht dir das Probleme verwirrt

verwirrt

einfach mal ausrechnen)

06.11.2012, 18:37

Neatfreak

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also ich rechne

$\begin{eqnarray*} (m+1)x=2<br /> mx+x=2<br /> mx=2-x<br /> m=(2-x) / x \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

06.11.2012, 18:39

kgV

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Nein, du setzt einfach -1 für m ein und rechnest dann aus. Da werden sich gleich Probleme ergeben...

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06.11.2012, 18:43

Neatfreak

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Ach so das ist mir schon klar das -1 nicht in die Rechnung geht, aber mir ist ein Rätsel wieso es -1 gibt.
Weil vorhin habe ich Gleichungen gelöst mit einem Buchstaben und es war alles schön *gg* aber jetzt muss ich plötzlich für zwei Buchstaben eine Lösung bekommen.
ich versteh nicht wieso m nicht einfach gleich (2-x) über x ist.
Weil wenn m +1 mal x plötzlich m = -1 gibt, ist für mich unlogisch. müsste dann nicht m auf der anderen Seite stehen?

06.11.2012, 18:51

kgV

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Ich glaube, wir reden hier ein bisschen aneinander vorbei: was ich sagen will, ist das: Für m=-1 ist die Gleichung nicht definiert, die Lösungsmenge also leer (L={}). Für jedes restliche $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es ein zugehöriges x. Das ist durch deine zweite Lösung gegeben.
Deine Lösung ist also von m abhängig:
$\begin{eqnarray*} m=-1\rightarrow L=\{\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m\neq -1\rightarrow L=\{\frac{2}{m+1}\} \end{eqnarray*}$
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich

06.11.2012, 19:00

Neatfreak

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danke für die ausführliche Antwort, jedoch sprechen wir wirklich aneinander vorbei.
Mir ist klar wieso die L = (nichts gibt) weil -1 +1 = 0 und ein Nenner kann nicht 0 sein.

Aber wie bestimmt man das "m" überhaupt -1 ist, gibt es da eine Regel? Um "x" zu bestimmen muss ich einfach auf x auflösen und dann bekomme ich 2 / (m+1) , aber wenn ich auf "m" auflöse bekomme ich nicht m = -1 sonder m= (2-x)/x

Hoffe dass das Sinn macht.

06.11.2012, 19:06

kgV

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Jetzt verstehe ich dich Idee!

Idee!

Es geht hier nicht darum, nach m aufzulösen, sondern darum zu bestimmen, für welche m die Gleichung keine Lösung hat. Dafür kannst du in diesem Fall einfach die Klammer heranziehen, in anderen fällen wird es etwas komplizierter werden. Im Grunde geht es aber immer darum, Zahlen zu finden, für die es keine Lösung gibt.
Wie gesagt, in der Regel muss man dazu lediglich einen kleinen Teil der Gleichung batrachten.
Spezifisches Gesetz kenne ich keines, da gehe ich nach Gefühl vor. Ich schaue mir alle Terme an, die ein m enthalten und überprüfe, ob und wann sie Schwierigkeiten machen, so z.B. als negative Zahl unter einer Wurzel oder als Null im Nenner.

edit: bin essen

06.11.2012, 19:36

Neatfreak

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ach so. Ich glaub habs verstanden. Jetzt versteh ich was der Lehrer vorne gequatscht hat.

Danke,

Gruss
-N

Guten Appetit!

06.11.2012, 19:42

kgV

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Danke. Hat geschmeckt
Freut mich, wenn alles klar ist

06.11.2012, 19:48

Neatfreak

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Oder evtl. noch diese Aufgabe

$\begin{eqnarray*} x^4 - 25x^2+60x-36=0<br /> x^2(x^-25x)+12(5x-3)=0<br /> x^2(x+5)(x-5)+12(5x-3)=0 \end{eqnarray*}$

Damit dachte ich, ich könnte -3/5 und 5 und -5 nehmen aber die Lösung ist L=-6,1,2,3

Hab ich da etwas in der Rechnung übersehen?

06.11.2012, 20:02

kgV

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Um den Satz vom Nullprodukt anwenden zu können, musst du ein Produkt haben, keine Summe. Hier musst du eine Nullstelle (z.B. 1) raten und dann eine Polynomdivision durchführen

06.11.2012, 20:24

Neatfreak

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das klingt ja sau kompliziert. Dann lass ich das lieber. Wir habe bis jetzt noch keine mit einer Polynomdivision machen müssen. Ehrlich gesagt müsst ich wieder nachforschen wie das geht.

Bis jetzt ging jede Aufgabe mit dieser Methode, schade.

Jedoch wenn ich anders beginne komm ich auf die -6

$\begin{eqnarray*} x^4-25x^2+60x-36=0<br /> x^4-(25x^2-60x+36)=0<br /> x^2-(5x-6)^2=0<br /> (x-(5x-6))(x+(5x-6))=0 \end{eqnarray*}$

Naja, wird wohl keine Eins diese Prüfung. smile

smile

06.11.2012, 20:42

kgV

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Stimmt, diese Möglichkeit hatte ich übersehen. Du musst statt der x vorne in der Klammer allerdings $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ schreiben, sonst stimmt das ganze nicht mehr (du kommst nicht mehr auf $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ )
Die entstehenden Klammerausdrücke kannst du dann über die pq-Formel lösen

06.11.2012, 20:47

Neatfreak

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Stimmt. Jetzt hab ich soeben eine Probeprüfung erhalten. Ach mensch, das wird ne lange nacht.

Noch letzt frage hoffentlich, warum gibt

Wurzel(x^2 - 144) = 5
das gibt L= 13, -13

ich was das wenn mit einer Wurzel gibt es immer die Negative und die Postive davon, aber wieso 13

Weil Wurzel x^2 - 144 gibt doch x-12=5 somit x=17

06.11.2012, 20:56

kgV

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Aus Summen ziehen die Wurzel nur die... Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-144}\neq\sqrt{x^2}-\sqrt{144} \end{eqnarray*}$
Du musst Die Gleichung quadrieren, dann erhältst du das hier: $\begin{eqnarray*} x^2-144=5^2 \end{eqnarray*}$
Das kannst du dann lösen und wirst auch das richtige Ergebnis erhalten

06.11.2012, 20:59

Neatfreak

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Zitat:

Original von kgV
Aus Summen ziehen die Wurzel nur die... Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-144}\neq\sqrt{x^2}-\sqrt{144} \end{eqnarray*}$
Du musst Die Gleichung quadrieren, dann erhältst du das hier: $\begin{eqnarray*} x^2-144=5^2 \end{eqnarray*}$
Das kannst du dann lösen und wirst auch das richtige Ergebnis erhalten

Ach so, ja genau. Man, ich hatte nie richtig Wurzeln, von dem her bin ich aufgeschmissen. kenne diese Regeln nicht. Hatte nicht gewusst das ich von 169 nochmals die wurzel ziehen muss damit ich 13 bekommen, wieso nehme ich die Wurzel weg and dann füge ich sie wieder hinzu?

06.11.2012, 21:02

kgV

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Die Wurzel nimmst du nicht weg. Um das x^2 da raus zu bekommen quadrierst du die Gleichung (löst sie dadurch zwar auf, aber verwende bitte nicht das Wort wegnehmen in diesem zusammenhang smile

smile

) und ziehst anschließend die Wurzel, um das Ergebnis für x zu bekommen. Warum du zwei Ergebnisse hast, ist dir klar?

06.11.2012, 21:07

Neatfreak

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Ja der Lehrer hat mal was erklärt. Kann es aber nicht erklären ist einfach so LOL Hammer

LOL Hammer

Ach meh...alle Aufgaben auf der Probeprüfung haben Wurzeln...

Wurzel(11x + 3) = 2x

Also jetzt kann ich wieder die Wurzel auf die andere Seite nehmen und erhalte dann 4x^2

11x + 3 = 4x^2

aber irgendwie fehlt mir das Wissen hier weiter zu machen. unglücklich

unglücklich

Du musst mir nicht mehr helfen wenn ich störe.

06.11.2012, 21:08

kgV

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Alles auf eine Seite bringen und Mitternachtsformel oder durch 4 teilen und pq-Formel smile

smile

06.11.2012, 21:15

Neatfreak

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Versteh nur Bahnhof...hab jetzt mal pq-Formel gegoogled und Fand auf wikipedia eine Menge Buchstaben.

Meinst du einfach alle

$\begin{eqnarray*} (11x+3)^2 - 2x =0<br /> 121x^2+64x+9=0 \end{eqnarray*}$

wie gehts dann weiter, darf ich von irgendwo die Wurzel ziehen lol

06.11.2012, 21:22

kgV

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Ich meinte, nach dem Quadrieren alles auf eine Seite:
$\begin{eqnarray*} 4x^2-11x-3=0 \end{eqnarray*}$ Das dann durch 4 dividieren, damit vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ eine 1 steht:

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{11}4\cdot x-\frac{3}4 \end{eqnarray*}$
nun hast du ja die Normalform einer Quadratischen Gleichung: $\begin{eqnarray*} x^2+p\cdot x+q=0 \end{eqnarray*}$ In unserem Fall ist also $\begin{eqnarray*} p=-\frac{11}4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=-\frac{3}4 \end{eqnarray*}$
Die pq-Formel geht ja so:
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q} \end{eqnarray*}$ Jetzt einsetzen und ausrechnen

edit:
Das sehe ich erst jetzt geschockt

geschockt

Zitat:

Du musst mir nicht mehr helfen wenn ich störe.

Niemand stört, wenn er Hilfe sucht

06.11.2012, 21:34

Neatfreak

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Irgendwie bin ich im falschen Film. Diese Formel hab ich noch nie gesehen. Deswegen denke ich das wir es anders gelernt haben. Und ich kann mir das niemals bis morgen merken.

Ausserdem weiss ich trotzdem nicht was ich machen muss. wenn ich die zahlen einsetze wie tip ich das in den Rechner muss ich + oder - rechnen lol

06.11.2012, 21:36

kgV

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Nein, das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es zwei Lösungen gibt, eine, bei der plus gerechnet wird, und eine, bei der minus gerechnet wird.
Wenn du das noch nie gesehen hast, habt ihr wahrscheinlich mit quadratischer Ergänzung gearbeitet. Sagt dir der Begriff etwas?

06.11.2012, 21:41

Neatfreak

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jetzt hab ich eine Übung gefunden wie wir etwas ähnlich gelöst haben.

Wurzel(x+6) + Wurzel(x - 1) = 0

Wurzel(x +6) = - Wurzel(x- 1)

dann Plötzlich Quadriert

Wurzel(x + 6)^2 = ( - Wurzel(x - 1) )^2

x + 6 = x - 1

0x = - 5 somit L= ( )

Da wird ja für jede Wurzel rechnung wieder was anderes gezaubert lol...

06.11.2012, 21:44

kgV

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Das ist zwar richtig, durch quadrieren werden die Wurzeln aufgelöst und dadurch ergibt sich ein Widerspruch, aber mit unserer Rechnung hat das herzlich wenig zu tun.
Wie gesagt, als alterative Lösung kann ich Quadratische Ergänzung anbieten, oder evtl. noch die Mitternachtsformel. Hast du von einem dieser beiden schon was gehört?

06.11.2012, 21:46

Neatfreak

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Nö, wie gesagt, habe die Schule zu viele male gewechselt das ich irgendwas mit bekommen habe. Habe zu grosse Bildungslücken. Hat bis jetzt noch nie wirklich was mit Wurzeln gehabt. Deswegen habe ich keine Ahnung.

06.11.2012, 21:52

kgV

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Dann könntest du ein Problemchen haben...
Die Quadratische Ergänzung habe ich hier (klick) erklärt, sieh dir das mal an, vlt. hilft es dir ja. Ansonsten wirst du die pq-Formel auswendig lernen müssen. So viel ist das ja nicht: du musst die Form kennen und wissen, dass: 1. die Gleichung Null gesetzt sein muss (d.h. nach dem = steht 0) und dass vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ 1 stehen muss. Dann das Ganze berechnet und fertig: Hier die Rechnungen, die zu den beiden Ergebnissen führen:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=-\frac{p}2\color{red}+\color{black}\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\frac{p}2\color{red}-\color{black}\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q} \end{eqnarray*}$
Das wars im Prinzip schon. Aber vlt. tust du dich mit quadratischer Ergänzung ja leichter

edit: Ich muss jetzt leider weg. Bei Fragen wird sicherlich ein anderer Helfer einspringen. gN8

06.11.2012, 22:04

Neatfreak

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Ach soooo... Hammer

Hammer

jetzt versteh ich ich hätte einfach eine Binomische Formel machen müssen. bzw. Fraktionieren? oder wie das auch immer heisst.

$\begin{eqnarray*} -4x^2 +11x+3=0<br /> -(4x^2-11x-3)=0<br /> -(4x+1)(x-3)=0<br /> <br /> L= (3) \end{eqnarray*}$

hab überhaupt nicht daran gedacht. Dachte diese verfahren heisst Binom.

07.11.2012, 18:29

kgV

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Die Umformung ist korrekt Freude

Freude

allerdings fehlt noch eine zweite Lösung. Für welchen Wert von x wird die vordere Klammer Null?

07.11.2012, 18:55

Neatfreak

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keine nämlich, -1/4 geht nicht, und hab soeben in den Lösung nach geschaut da ich nicht wusste was es sein könnte. Es steht L = 3

oder überseh ich da was?

07.11.2012, 22:40

kgV

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Das kann der Fall sein, wenn die Definitionsmenge nur die Natürlichen Zahlen umfasst. Bei rationalen Zahlen und höher, was ich doch vermute, ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}4 \end{eqnarray*}$ in der Definitionsmenge enthalten und kann somit eine Lösung der Gleichung sein

08.11.2012, 00:01

opi

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Man darf allerdings nicht die Ausgangsgleichung

Zitat:

Wurzel(11x + 3) = 2x

aus dem Auge verlieren. Ein negativer Wert für x kommt nicht in Frage. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, um Scheinlösungen auszuschließen ist immer eine Probe erforderlich.

08.11.2012, 14:35

kgV

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Hoppala, richtig, das hatte ich vergessen. Danke dir, opi smile

smile

edit: Mit $\begin{eqnarray*} -\frac{1}4 \end{eqnarray*}$ ergibt sich unter der Wurzel aber kein negativer Wert. Damit ist auch diese Lösung in Ordnung

08.11.2012, 14:45

opi

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Die rechte Seite der Gleichung wird aber negativ und die Lösung ist nicht in Ordnung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2012, 14:54

kgV

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Stimmt

smile

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