Einheiten + Nullteiler

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Leopard Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten + Nullteiler
Warum ist in einem Restklassenring jedes Elemente entweder eine Einheit oder ein Nullteiler und nichts Drittes?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Eigene Ideen?
Leopard Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, warum nicht etwas Drittes möglich ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas Drittes??? Entweder tritt für ein im Bild der Abbildung



die 1 auf oder sie tritt nicht auf (und dafür ein anderes Element doppelt!), ein Drittes gibt es hier nicht...
Leopard Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh ich nicht. Wenn a (kein Nullelement) im Bild der Abbildung liegt dann ist a eine EInheit oder keine Einheit. Sei a keine Einheit. Dann erzeugt a nicht die 1. Weshalb ist dann a ein Nullteiler?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Oje, ganz verkehrt... unglücklich

Nein, wenn 1 im Bild der Abbildung liegt, dann ist a eine Einheit... Wenn das aber nicht zutrifft, dann gibt es ein anderes Element, nennen wir es c, das (zumindestens) zweimal im Bild unter vorkommt... Du musst jetzt versuchen zu beweisen, dass a dann Nullteiler ist...
 
 
Leopard Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe mir ein Beispiel gebastelt mit m=4, a = 2 (Nullteiler). Dann ist c=6 das zweite Element unter f_a, d.h. c und a liegen in der gleichen Restklasse, und es gilt ac = 0.

Warum es jetzt zwingend ist, dass ac = 2*6= 0, sehe ich nicht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopard
So ich habe mir ein Beispiel gebastelt mit m=4, a = 2 (Nullteiler). Dann ist c=6 das zweite Element unter f_a, d.h. c und a liegen in der gleichen Restklasse, und es gilt ac = 0.

Warum es jetzt zwingend ist, dass ac = 2*6= 0, sehe ich nicht.


Au weia, aus Obigem geht klar hervor, dass du nichts, aber auch gar nichts, von dem verstanden hast, was ich vorgeschlagen habe... unglücklich

Nehmen wir doch als Beispiel m=12 und a=3... Dann würde z.B. c=6 mehrfach im Bild(!!!) der Abbildung



auftreten, nämlich z.B. als Bild(!!!) von x=2 und x=6, da ja gilt

und .

Daraus gewinnt man dann insbesondere durch Subtraktion dieser Gleichungen die neue Gleichung



was beweist, dass a=3 ein Nullteiler ist...

Zusammenfassend also: Taucht die 1 im Bild von auf, so ist a invertierbar, taucht die 1 dort nicht auf, dann dafür ein anderes Element c mindestens doppelt und man argumentiert so wie oben in dem Beispiel...
Leopard Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt habe ich verstanden. Ich wusste nicht, dass man auf diese Weise substrahieren kann. Danke für Deine Erklärung
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammenfassend: Was wir also vom Restklassenring wirklich verwendet haben ist allein seine Endlichekit, d.h., für endliche Ringe würde dieser Beweis fast wortwörtlich gleich funktionieren. Und was die Endlichkeit betrifft, haben wir verwendet, dass eine Abbildung einer endlichen Menge in sich genau dann surjektiv ist, wenn sie injektiv ist. In unserem Fall heißt dies: Ist nicht surjektiv (weil die 1 nicht im Bild vorkommt), dann automatisch auch nicht injektiv und damit a dann Nullteiler... Wink
Leopard Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, für den Nachschub als Einblick in eine tieferliegenden Zusammenhang.
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