Einheiten + Nullteiler |
06.11.2012, 21:21 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einheiten + Nullteiler |
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07.11.2012, 02:45 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigene Ideen? |
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08.11.2012, 10:20 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe nicht, warum nicht etwas Drittes möglich ist. |
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08.11.2012, 15:37 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Etwas Drittes??? Entweder tritt für ein im Bild der Abbildung die 1 auf oder sie tritt nicht auf (und dafür ein anderes Element doppelt!), ein Drittes gibt es hier nicht... |
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08.11.2012, 21:58 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Versteh ich nicht. Wenn a (kein Nullelement) im Bild der Abbildung liegt dann ist a eine EInheit oder keine Einheit. Sei a keine Einheit. Dann erzeugt a nicht die 1. Weshalb ist dann a ein Nullteiler? |
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08.11.2012, 22:06 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oje, ganz verkehrt... Nein, wenn 1 im Bild der Abbildung liegt, dann ist a eine Einheit... Wenn das aber nicht zutrifft, dann gibt es ein anderes Element, nennen wir es c, das (zumindestens) zweimal im Bild unter vorkommt... Du musst jetzt versuchen zu beweisen, dass a dann Nullteiler ist... |
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09.11.2012, 00:41 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ich habe mir ein Beispiel gebastelt mit m=4, a = 2 (Nullteiler). Dann ist c=6 das zweite Element unter f_a, d.h. c und a liegen in der gleichen Restklasse, und es gilt ac = 0. Warum es jetzt zwingend ist, dass ac = 2*6= 0, sehe ich nicht. |
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09.11.2012, 11:42 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Au weia, aus Obigem geht klar hervor, dass du nichts, aber auch gar nichts, von dem verstanden hast, was ich vorgeschlagen habe... Nehmen wir doch als Beispiel m=12 und a=3... Dann würde z.B. c=6 mehrfach im Bild(!!!) der Abbildung auftreten, nämlich z.B. als Bild(!!!) von x=2 und x=6, da ja gilt und . Daraus gewinnt man dann insbesondere durch Subtraktion dieser Gleichungen die neue Gleichung was beweist, dass a=3 ein Nullteiler ist... Zusammenfassend also: Taucht die 1 im Bild von auf, so ist a invertierbar, taucht die 1 dort nicht auf, dann dafür ein anderes Element c mindestens doppelt und man argumentiert so wie oben in dem Beispiel... |
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09.11.2012, 17:28 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, jetzt habe ich verstanden. Ich wusste nicht, dass man auf diese Weise substrahieren kann. Danke für Deine Erklärung |
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09.11.2012, 17:46 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zusammenfassend: Was wir also vom Restklassenring wirklich verwendet haben ist allein seine Endlichekit, d.h., für endliche Ringe würde dieser Beweis fast wortwörtlich gleich funktionieren. Und was die Endlichkeit betrifft, haben wir verwendet, dass eine Abbildung einer endlichen Menge in sich genau dann surjektiv ist, wenn sie injektiv ist. In unserem Fall heißt dies: Ist nicht surjektiv (weil die 1 nicht im Bild vorkommt), dann automatisch auch nicht injektiv und damit a dann Nullteiler... |
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09.11.2012, 21:14 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, für den Nachschub als Einblick in eine tieferliegenden Zusammenhang. |
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