Beweis: Z/mZ ist ein Körper, wenn m eine primzahl ist.

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Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Z/mZ ist ein Körper, wenn m eine primzahl ist.
Hallo!

Ich hänge an einer bestimmten Aufgabe meines Übungsblattes und ich komme einfach nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir einige Denkanstöße geben smile

Sei . Zeigen Sie: ist genau dann ein Körper, wenn eine Primzahl ist.

Hinweise:

(i): Sie dürfen verwenden, dass für mit den in der Vorlesung definierten Verknüpfungen ein kommutativer Ring mit Einselement ist, d.h. dass alle Körperaxiome mit Ausnahme von M4(Inverses Element der Multiplikation) bereits gezeigt sind.

(ii) Betrachten sie für die Abbildung

mit

und benutzen sie Teil a. (Wo es darum ging, dass eine Funktion, die eine endliche nichtleere Menge auf sich selbst abbildet genau dann surjektiv ist, wenn sie injektiv ist.)

(iii) Sie dürfen verwenden, dass eine Primzahl ein Produkt genau dann teilt, wenn sie einen der Faktoren teilt.


So, das wärs. Ich fühl mich ziemlich doof, weil so viele Hinweise gegeben sind, aber ich komm nicht drauf Big Laugh
Meine bisherigen Ideen: Ich muss ja theoretisch zeigen, dass, wenn m eine Primzahl ist, die Funktion injektiv oder halt surjektiv ist. Denn dann ist jedem Element genau eine Inverse zugeordnet, wenn nämlich die Funktion 1 als Funktionswert ausspuckt. Aber ich weiß nicht, wie ich das zeige. Ein Denkanstoß wäre daher sehr nett Big Laugh

LG

Verdruss
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Idee ist sehr gut. Wie setzt Du denn an, um die Injektivität von zu zeigen?
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Theoretisch würde ich ja einfach nach dem Schema gehen. Hab aber keine Ahnung, wie ich das in diesem speziellen Fall umsetzen soll. Auch Argumentativ würde mir nichts bestimmtes einfallen, weil ich nicht weiß, wie ich m, das ja gar nicht als Element in der Menge ist, irgendwie in die Argumentation reinkriege Big Laugh
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Na, hat natürlich auch eine Äquivalenzklasse in . Also, nach Definition unserer Abbildung folgt aus , dass bzw. . Was bedeutet diese letzte Gleichung denn inbezug auf ?
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... Sie bedeutet ja, dass durch teilbar ist. Und eine Primzahl teilt ein Produkt genau dann, wenn sie einen der Faktoren teilt. kann sie nur teilen, wenn ist, und das brauchen wir keine Inverse. Also müsste vor allem teilen, und das klappt nur, wenn . Darum muss die Funktion injektiv sein, wenn m eine Primzahl ist.

Wenn ich mir das so durchlese, klingt das seltsam. Ist das das, worauf du hinauwolltest oder verdrehe ich jetzt irgendetwas so weit, dass ich ganz woanders bin? XD
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau darauf wollte ich hinaus. Freude

Natürlich ist die Gleichung hier als zu lesen. Die beiden Zahlen und sind i.a. nicht identisch, wohl aber eben ihre Äquivalenzklassen modulo . In diesem Falle kannst Du das aber trotzdem so notieren, da wir bei der schon in der Aufgabe angedeuten Schreibweise für abkürzend geschrieben haben.
 
 
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal das Update:

Vielen Dank für deine Hilfe! Habe heute die Aufgabe wiederbekommen und Volle Punktzahl daraufbekommen, auch wenn die andere Richtung etwas seltsam war. Aber es wurde verstanden Big Laugh

Vielen Dank nochmal! smile
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist toll, herzlichen Glückwunsch. smile Hab gern geholfen. Wink
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