Polynome mit rationalen Koeffizienten

08.11.2012, 16:26

Peter Lustig

Polynome mit rationalen Koeffizienten

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} Q[X]:= {p: \mathbb R -> \mathbb R |p(X)=\sum\limits_{i=0}a_{i}x^{i} , a_{i}\in Q, n \in \mathbb N 0} \end{eqnarray*}$ die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten. Betrachten Sie nun die Menge $\begin{eqnarray*} Q[\sqrt{7}]:={p(\sqrt{7}|p\in Q[X]} \end{eqnarray*}$ .
a) Zeigen Sie, $\begin{eqnarray*} Q[\sqrt{7}]={a+b\sqrt{7}|a,b \in Q}. \end{eqnarray*}$
b) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} Q[\sqrt{7}] \end{eqnarray*}$ mit der ueblichen Addition und Multiplikation reller Zahlen einen Koerper bildet.

Loesungvorschlaege:
a) anschaulich ist mir das klar, für gerade i erhalte ich eine rationale zahl a, für ungerade i erhalte ich $\begin{eqnarray*} b\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ . Mein Problem ist nur, wie schreibe ich das nun mathematisch richtig auf?

b) hab ich mir jetzt noch keine gedanken gemacht, aber das duerfte kein problem werden.

08.11.2012, 16:38

tmo

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RE: Polynome mit rationalen Koeffizienten

Zitat:

Original von Peter Lustig
Loesungvorschlaege:
a) anschaulich ist mir das klar, für gerade i erhalte ich eine rationale zahl a, für ungerade i erhalte ich $\begin{eqnarray*} b\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ . Mein Problem ist nur, wie schreibe ich das nun mathematisch richtig auf?

Nimm dir ein beliebiges Polynom und mache Division mit Rest durch $\begin{eqnarray*} x^2-7 \end{eqnarray*}$

08.11.2012, 16:59

Peter Lustig

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Danke für die Antwort smile

Wieso kann man das so machen? Kann ich mir irgend ein Polynom mit beliebigen Koeffizienten und beliebigen Potenzen nehmen? Das wäre aber ja dann nur ein Beispiel und ein Beispiel ist noch kein Beweis?! Wie kommt man auf x²-7?

08.11.2012, 17:12

tmo

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Ich wundere mich immer wieder darüber wie das Wort "beliebig" falsch verstanden wird.

Wenn man sagt, man wählt etwas beliebig, meint man doch immer, dass man damit alle Möglichkeiten abdeckt.

Wie man auf $\begin{eqnarray*} x^2-7 \end{eqnarray*}$ kommt, sollte doch im Kontext der Quadratwurzel von 7 irgendwie naheliegend sein Augenzwinkern

08.11.2012, 17:39

Peter Lustig

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Zitat:

Original von tmo
Wie man auf $\begin{eqnarray*} x^2-7 \end{eqnarray*}$ kommt, sollte doch im Kontext der Quadratwurzel von 7 irgendwie naheliegend sein Augenzwinkern

Da hab ich mich wohl grad wirklich dumm angestellt Augenzwinkern

ich habe mir jetzt das polynom x^4+x^3-7x^2+x-1 genommen. Division mit Rest durch x^2-7 liefert mir ja dann folgendes ergebnis:
(x^2+x)(x^2-7)+8x-1
Setze ich nun $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ein, so "bleibt der Rest über", also
8* $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ -1
Dies entspricht ja der gewünschten form, also ist alles gezeigt?!

08.11.2012, 17:45

tmo

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Jetzt hast du ja doch ein willkürliches Beispiel genommen.
Du musst schon ein beliebiges Polynom nehmen. Die Division mit Rest kannst du dann natürlich nicht "berechnen". Aber es gibt da doch eine Existenzaussage...

08.11.2012, 18:09

Peter Lustig

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okay, sowas haben wir leider nicht in der vorlesung behandelt, deswegen bin ich etwas ratlos bei der ganzen sache.
hab jetzt mal ein bisschen recherchiert.

Wir haben also unser beliebiges Polynom der in der Angabe vorausgesetzten form.
Wir führen nun eine Division mit Rest mit dem Term (x^2-7) durch, der ja Element von Q[ $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ] ist.
Nach Definition bzw. Regel für Division mit Rest bei Polynomen gilt dann:
p(x)=q(x)*(x^2-7)+r(x) und q und r sind ebenfalls element von Q[ $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ]. Setze ich nun x= $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ein, so ergibt sich p( $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ) = r( $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ )
Aber wie komme ich von hier nun auf die gewünschte Form?

edit sagt: der grad(r) < grad(f) und damit habe ich maximal ein Polynom 1. Ordnung, also der form a+bX womit ich meine gewünschte Form hätte.

Stimmt das?

08.11.2012, 18:16

tmo

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Zitat:

Original von Peter Lustig
edit sagt: der grad(r) < grad(f) und damit habe ich maximal ein Polynom 1. Ordnung, also der form a+bX womit ich meine gewünschte Form hätte.

Genau das ist der springende Punkt. Freude

08.11.2012, 18:17

Peter Lustig

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Okay, danke für die Hilfe smile

auch wenns schwierig war mit mir Augenzwinkern

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