Relation und Äquivalenz

Neue Frage »

Komptation Auf diesen Beitrag antworten »
Relation und Äquivalenz
Wink

Folgendes gilt es zu bearbeiten:

Zeigen Sie, dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf "Z" (=ganze Zahlen) ist:



ist dann durch 3 teilbar, wenn die Differenz ein Vielfaches von 3 ist (d.h. 0, |3|, |6|, |9| usw. also alle 3er Potenzen). Das bedeutet, dass .
Daher muss also auch das jeweilige Quadrat ein Vielfaches von 3 sein. Somit:

a = 3*x = 3^x
b = 3*x = 3^x

_ _ _ _ _ _

Zu zeigen ist also nun dass R
- Transitiv
- Reflexiv
- Symmetrisch

ist.

a.) Reflexiv.
D.h.
aus (a,b) muss also folgen dass gilt.
Da a,b eingeschränkt ist als Vielfaches von 3 gilt
wenn für a = 3^n und b = 3^m gegeben ist dass m=n.

b.) Transitiv
D.h.
a und b seien Vielfaches von 3.
(a,b) = (3^n, 3^m).
b und c seien Vielfaches von 3.
(b,c) = (3^m, 3^k).

für (a,c) gilt dann (3^n, 3^k). Auch a und c sind Vielfaches von 3.
Sowohl für (a,b), als auch (b,c) sowie für (a,c) ist die Bedingung erfüllt, dass 3 ein Teiler ist von a^2 - b^2 bzw. b^2 - c^2 sowie a^2 - c^2.

c.) Symmetrie.
Für (a,b) gilt auch (b,a).

Dies ist erfüllt, denn a = 3^n und b = 3^m => 3^n - 3^m ist durch 3 teilbar.
Weiterhin gilt: b = 3^m und c = 3^k => 3^m - 3^k ist durch 3 teilbar.


Und dann soll ich die Klasseneinteilung angeben. Was genau ist das?
Ich hätte es jetzt so verstanden dass die Antwort darauf ist:
Die Klasseneinteilung ist die Menge ().
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relation und Äquivalenz
Zitat:
Original von Komptation
ist dann durch 3 teilbar, wenn die Differenz ein Vielfaches von 3 ist (d.h. 0, |3|, |6|, |9| usw. also alle 3er Potenzen). Das bedeutet, dass .

Das stimmt so nicht (mal noch abgesehen davon, dass das, was du aufgezält hattest, nicht Potenzen, sondern ganzzahlige Vielfache von 3 sind).

Setze mal a=2 und b=1. Dann ist doch a²-b²=4-1=3, also durch 3 teilbar. Aber weder a² noch a noch b² noch b sind durch 3 teilbar.

Somit geht natürlich auch dein ganzer Beweis schief.

Hinweis zur Bearbeitung: Mach dir am Anfang erst mal nicht so viele Vorüberlegungen, sondern zeige einfach mal Reflexivität. Dazu müsste ja (a,a) in R liegen. Tut es das?
Komptation Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann ein neuer Versuch.

1.) R ist reflexiv:

0 ist durch 3 teilbar, somit ist R reflexiv.

2.) R ist transitiv:

Daraus folgt:
ist durch 3 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 3 teilbar. Daraus folgt, dass .

Wie zeige ich, dass a^2 - c^2 wirklich durch 3 teilbar ist?

3.) R ist symmetrisch:


Normalerweise hätte ich gesagt, dass aus
wegen Kommutativität (die ja aber bei Differenzen nicht gilt verwirrt )
gilt, somit (b,a) in R ist.

Zur Klasseineinteilung:

verwirrt verwirrt
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Reflexivität passt so weit.

Zur Transitivität:
Nun ja, es gilt doch a²-c²=(a²-b²)+(b²-c²), also ist es die Summe zweier nach Voraussetzung durch 3 teilbarer Zahlen. Also könnte man 3 ausklammern und würde so die Teilbarkeit durch 3 von a²-c² erkennen.
Um das ganze mathematisch (und nicht nur mathematisch-sprachlich) klar zu machen: Schreib dir auf, was es bedeutet, dass a²-b² und b²-c² durch 3 teilbar sind. Damit kann man dann weiterarbeiten.

Zur Symmetrie:
Mach das ohne die Beträge. Es ist ja a²-b²=-(b²-a²). Wenn man wieder so wie bei der Transitivität macht, sieht man das schnell ein.
Komptation Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von magic_hero
Reflexivität passt so weit.

Zur Transitivität:
Nun ja, es gilt doch a²-c²=(a²-b²)+(b²-c²), also ist es die Summe zweier nach Voraussetzung durch 3 teilbarer Zahlen. Also könnte man 3 ausklammern und würde so die Teilbarkeit durch 3 von a²-c² erkennen.
Um das ganze mathematisch (und nicht nur mathematisch-sprachlich) klar zu machen: Schreib dir auf, was es bedeutet, dass a²-b² und b²-c² durch 3 teilbar sind. Damit kann man dann weiterarbeiten.

Zur Symmetrie:
Mach das ohne die Beträge. Es ist ja a²-b²=-(b²-a²). Wenn man wieder so wie bei der Transitivität macht, sieht man das schnell ein.


Hallo,
ok:

Transitivität:
3|(a^2-b^2) und 3|(b^2-c^2).
Dann ist 3|(a^2-b^2) + 3|(b^2-c^2) = 3| (a^2-c^2).

Ich hoffe, das war es, was du mir vermitteln wolltest? Hoffentlich, denn so erscheint es mir nun sehr plausibel.

Symmetrie:

Die Idee hatte ich auch, nur habe ich ja dann eben ein "-" (Minus) vor der Symmetrischen Darstellung. Dieses kann ich ja nicht einfach so "weglassen" - oder doch?!


Und wie kann ich diese sogenannte "Klasseneinteilung" angeben?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Das wollte ich damit eigentlich nicht sagen, denn eigentlich ist an mathematischer Sauberkeit nichts gewonnen.

Wenn eine Zahl durch drei teilbar ist, heißt das doch, dass sie ein Vielfaches von 3 ist. Also:

Dasselbe kannst du für b²-c² machen und dann sieht man auch ganz schön, warum a²-c² durch 3 teilbar sein muss.

Ebenso gilt doch auch bei der Symmetrie das, was ich eben sagte, nämlich dass ein ganzzahliges k existiert, das a²-b² teilt. Welche ganze Zahl teilt dann b²-a²=-(a²-b²)?

Für die Klasseneinteilung sollst du die Äquivalenzklassen angeben. Das hast du vielleicht schon für andere Relationen gemacht, z.B. bei der modulo-Rechnung (). Im Prinzip funktioniert das hier genauso.
 
 
Komptation Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von magic_hero
Das wollte ich damit eigentlich nicht sagen, denn eigentlich ist an mathematischer Sauberkeit nichts gewonnen.

Wenn eine Zahl durch drei teilbar ist, heißt das doch, dass sie ein Vielfaches von 3 ist. Also:

Dasselbe kannst du für b²-c² machen und dann sieht man auch ganz schön, warum a²-c² durch 3 teilbar sein muss.

Ebenso gilt doch auch bei der Symmetrie das, was ich eben sagte, nämlich dass ein ganzzahliges k existiert, das a²-b² teilt. Welche ganze Zahl teilt dann b²-a²=-(a²-b²)?

Für die Klasseneinteilung sollst du die Äquivalenzklassen angeben. Das hast du vielleicht schon für andere Relationen gemacht, z.B. bei der modulo-Rechnung (). Im Prinzip funktioniert das hier genauso.


Heißt das dann, dass:




bzw. zur Frage bei der Symmetrie:

die ganzzahlige Zahl 3 teilt (a^2 - b^2) sowie -(b^2 + a^2).


Modulo-Rechung sagt mir leider nichts.
Beispiele für Äquivalenzklassen habe ich zwar schon gesehen, das war dann aber immer sehr konkret. Z.b. die Äquivalenzklasse einer Relation R = {(1,2), (1,1), (2,2), (2,1)}
[1] = {1,2} = [2]
Sowas sollte das sein. Ich tu mich sehr schwer mit dem Begriff.

Daher kann ich auch mit der Zuordnung von Äquivalenzklassen zu der Aufgabe recht wenig anfangen. Ich muss das ja allgemein formulieren..
[x] = ...

Also alle Elemente aus Z die mit einem Element x mit x aus Z in Relation ~ stehen.
verwirrt
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »