Augensumme von mehreren Würfeln

08.11.2012, 20:35

Sarliefer

Augensumme von mehreren Würfeln

Hallo!

Ich habe folgendes Problem....

Ich habe 4 Würfel und soll berechnen wie viele Variationen bei einer bestimmten Augensumme möglich sind.

Z.B. gibt es 4 Möglichkeiten um auf die Augensumme 5 zu kommen, sprich die Reihenfolge der Würfel sind irrelevant.

Mir fehlt in diesem Fall leider der Ansatz, aber ich vermute mal, dass n über k in irgend einer Art und Weise vorkommt.

Für einen Gedankenantsoß würde ich mich sehr freuen verwirrt

08.11.2012, 22:02

Sarliefer

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Ich habe bei dem Beispiel aus Versehen geschrieben, dass die Reihenfolge irrelevant ist. Das ist natürlich Humbug! Die Reihenfolge spielt natürlich eine Rolle, da es ja sonst keine 4 Möglichkeiten für die Augensumme 5 geben würde.

Sorry!

08.11.2012, 22:08

Mathe-Maus

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RE: Augensumme von mehreren Würfeln

Zitat:

Original von Sarliefer
Ich habe 4 Würfel und soll berechnen wie viele Variationen bei einer bestimmten Augensumme möglich sind.

Ist das die KOMPLETTE Aufgabenstellung ?
LG Mathe-Maus

08.11.2012, 22:12

Sarliefer

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Ja das ist die Aufgabenstellung.

Wie viele Möglichkeiten gibt es z.B. eine 13 zu Würfeln. 24 ist ja z.B. die maximale Augensumme. Mehr kann ich mir leider auch nicht zusammen reimen.

08.11.2012, 22:16

Mathe-Maus

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RE: Augensumme von mehreren Würfeln

Zitat:

Original von Sarliefer
Ich habe 4 Würfel und soll berechnen wie viele Variationen bei einer bestimmten Augensumme möglich sind.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe SO in Deinem Buch steht ?

08.11.2012, 22:23

HAL 9000

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Verteilung der Summe von n Augenzahlen beim Würfeln

08.11.2012, 22:33

Mystic

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Ja, oder im Prinzip gleich, nur etwas "algebraischer" geht es so, dass man

$\begin{eqnarray*} (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^4 \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert und den Koeffizientenvektor "abgreift"... Augenzwinkern

08.11.2012, 22:56

Sarliefer

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Und wie greift man den Koeffizientenvektor ab? smile

08.11.2012, 23:02

Mystic

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Zitat:

Original von Sarliefer
Und wie greift man den Koeffizientenvektor ab? smile

Hm, seltsame Frage... Nachdem du ausmultipliziert hast, bekommst du sowas wie

$\begin{eqnarray*} x^4+4x^5+10x^6+\ldots+10x^{22}+4x^{23}+x^{24} \end{eqnarray*}$

d.h., der Koeffizientenvektor wäre dann $\begin{eqnarray*} (0,0,0,0,1,4,10,\ldots,10,4,1) \end{eqnarray*}$ ...

Du hast also jeweils 0 Möglichkeiten mit 4 Würfeln eine 0,1,2 oder 3 zu würfeln, eine für 4, vier für 5 etc. Insbesondere ist das Polynom symmetrisch bezüglich seiner Mitte, was die Arbeit halbiert... Augenzwinkern

10.11.2012, 12:27

Sarliefer

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Besten Dank! Das hab ich jetzt verstanden Big Laugh

Weiß hier auch zufällig jemand, wie man die verschiedenen Würfelkombinationen für eine bestimmte Augensumme berechnet?

Beispiel:

Augensumme: 6
Es gibt 2 Möglichkeiten, eine Augensumme von 6 zu erreichen.
Möglichkeit 1: (1,1,1,3)
Möglichkeit 2: (1,1,2,2)

Könnt ihr mir da weiterhelfen oder sollte ich besser im Forum der Hochschulmathematik einen neuen Thread eröffnen?

10.11.2012, 12:51

Mystic

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Für die (kleine) Augensumme 6 ist es noch einfach, für größere (ab 10) wird's dann schwieriger... Was du brauchst ist der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ in Potenzreihe von

$\begin{eqnarray*} (x+x^2+x^3+...)^4 \end{eqnarray*}$

Das kann man umformen zu

$\begin{eqnarray*} \frac {x^4}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

und jetzt brauchst du nur noch die Potenzreihe für

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

Die gewinnt man aber leicht durch wiederholtes Ableiten von

$\begin{eqnarray*} \frac 16\cdot \frac 1{1-x}=\frac 16 \sum_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$

Versuchs's mal! Augenzwinkern

10.11.2012, 13:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mystic
Für die (kleine) Augensumme 6 ist es noch einfach

Ja, für diese kleinen Augensummen ist es direkt kombinatorisch sogar so einfach, dass der Umweg über die erzeugenden Funktionen schon ziemlich grotesk erscheint. Big Laugh

10.11.2012, 13:30

Mystic

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Zitat:

Original von HAL 9000
[Ja, für diese kleinen Augensummen ist es direkt kombinatorisch sogar so einfach, dass der Umweg über die erzeugenden Funktionen schon ziemlich grotesk erscheint. Big Laugh

Ich wußte ja, dass dir das nicht gefallen würde (vielleicht hab ich's auch deshalb geschrieben)... Big Laugh

10.11.2012, 19:34

Sarliefer

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Zitat:

Original von Mystic
Für die (kleine) Augensumme 6 ist es noch einfach, für größere (ab 10) wird's dann schwieriger... Was du brauchst ist der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ in Potenzreihe von

$\begin{eqnarray*} (x+x^2+x^3+...)^4 \end{eqnarray*}$

Das kann man umformen zu

$\begin{eqnarray*} \frac {x^4}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

und jetzt brauchst du nur noch die Potenzreihe für

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

Die gewinnt man aber leicht durch wiederholtes Ableiten von

$\begin{eqnarray*} \frac 16\cdot \frac 1{1-x}=\frac 16 \sum_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$

Erstmal Danke! Ich kann da nicht ganz folgen glaube ich.

Also ich probiere es mal für die Augensumme 11.

Der Koeffizient hierfür ist 104.

Und da hörts auch schon auf bei mir smile

Was und wie wird da zu

$\begin{eqnarray*} \frac {x^4}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$ umgeformt?

So die Potenzreihe für
$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$
lautet
$\begin{eqnarray*} \frac 1{(x^4-4x^3+x^2-2x+1)^4} \end{eqnarray*}$

Und wie fährt man jetzt fort?

Sorry das ich so lange brauche verwirrt

10.11.2012, 20:59

Mystic

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Sorry, wie ich oben sagte, ist es ab der Augensumme 10 dann nicht mehr so einfach... Der Grund dafür ist, dass dann auch Kombinationen wie 1,1,1,7 mitgezählt werden, die natürlich mit Würfeln nicht erzielbar sind... Also bleib bitte bei Augensumme 6 oder zumindestens unter 10, wenn du das oben Gesagte nachvollziehen willst...

Und bitte das hier

Zitat:

Die gewinnt man aber leicht durch wiederholtes Ableiten von

$\begin{eqnarray*} \frac 16\cdot \frac 1{1-x}=\frac 16 \sum_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$

wirklich so befolgen, so wie es da steht, nämlich einfach beide Seiten der Gleichung dreimal ableiten... Du gewinnst auf diese Weise eine Potenzreihendarstellung von $\begin{eqnarray*} 1/(1-x)^4 \end{eqnarray*}$ ... Die musst du dann nur noch mit $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ multiplizieren und kannst dann am Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Möglichkeiten ablesen, die Augensumme 6 zu werfen...

10.11.2012, 21:38

HAL 9000

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Für alle $\begin{eqnarray*} 4\leq k\leq 24 \end{eqnarray*}$ eine Anzahlformel zu entwickeln, ist einigermaßen schwierig. Unter Anwendung der Siebformel entsteht da am Ende das Monstrum

$\begin{eqnarray*} n_k = \binom{k-1}{3} - 4\cdot 1_{\{k\geq 10\}}\cdot \binom{k-7}{3} + 6\cdot 1_{\{k\geq 16\}}\cdot\binom{k-13}{3} - 4\cdot 1_{\{k\geq 22\}}\cdot\binom{k-19}{3} \end{eqnarray*}$

allerdings sollte man für $\begin{eqnarray*} k>14 \end{eqnarray*}$ besser die Symmetrie $\begin{eqnarray*} n_k = n_{28-k} \end{eqnarray*}$ ausnutzen, und für $\begin{eqnarray*} 4\leq k\leq 14 \end{eqnarray*}$ kann man die Formel reduzieren zu

$\begin{eqnarray*} n_k = \binom{k-1}{3} - 4\cdot 1_{\{k\geq 10\}}\cdot \binom{k-7}{3} \end{eqnarray*}$ .

Details zur Entwicklung dieser Formel siehe z.B. hier:

Quersumme bei n<100000
Würfeln

11.11.2012, 02:19

Sarliefer

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Ok ich hab jetzt folgende Potenzreihe raus:

$\begin{eqnarray*} x^4+x^5+2x^6+3x^7+4x^8+5x^9+6x^{10}+7x^{11}+8x^{12}+9x^{13}+10x^{14}+9x^{15}+8x^{16}+7x^{17}+6x^{18}+5x^{19}+4x^{20}+3x^{21}+2x^{22}+x^{23}+x^{24} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

11.11.2012, 08:27

Mystic

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Zitat:

Original von Sarliefer
Ok ich hab jetzt folgende Potenzreihe raus:

$\begin{eqnarray*} x^4+x^5+2x^6+3x^7+4x^8+5x^9+6x^{10}+7x^{11}+8x^{12}+9x^{13}+10x^{14}+9x^{15}+8x^{16}+7x^{17}+6x^{18}+5x^{19}+4x^{20}+3x^{21}+2x^{22}+x^{23}+x^{24} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Wofür soll das die Potenzreihe sein? Für $\begin{eqnarray*} (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^4 \end{eqnarray*}$ oder für $\begin{eqnarray*} \frac {x^4}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$ ?

Ist im Grunde auch egal, denn es ist beides haushoch daneben... unglücklich

Edit: Wie du meinen (und auch HAL's) Ausführungen entnehmen kannst, übersteigt deine Frage nach so einer allgemeinen Formel den Rahmen der Schulmathematik bei weitem... Wenn du dich trotzdem für die Lösung interessierst - was ja im Grunde löblich ist - musst du dann auch mehr Mühe investieren und wirklich auf das eingehen, was ich oben gesagt habe...

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