Flächeninhalt eines Dreiecks im R2

09.11.2012, 18:11

*Gast*

Flächeninhalt eines Dreiecks im R2

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe bzw. das Verfahren zum Lösen der Aufgabe richtig verstanden habe, da ich das Gefühl habe, mein Ergebnis kann so nicht stimmten.
Hier mal die Aufgabe und meine Lösung:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

A(1/2) ; B(8/-1) ; C(6/5)

$\begin{eqnarray*} \vec{CA}=\begin{pmatrix} 1-6 \\ 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{CB}=\begin{pmatrix} 8-6 \\ -1-5 \\ \end{pmatrix) = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A_{Dr}= \frac{1}{2} *|\vec{CA}\times \vec{CB} |

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}*| (-5*(-6)-(-3)*2) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}*\sqrt{36} \end{eqnarray*}$

= 3

Ist das richtig, oder habe ich etwas falsch gemacht? Danke im Voraus für die Hilfe Wink

09.11.2012, 18:18

*Gast*

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da sollte dann noch
$\begin{eqnarray*} \vec{CB}=\begin{pmatrix} 8-6 \\ -1-5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A_{Dr} =\frac{1}{2}*|\vec{CA}\times \vec{CB}| \end{eqnarray*}$

stehen

09.11.2012, 18:21

Mystic

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$\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$ hast du falsch berechnet...

09.11.2012, 18:24

*Gast*

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oh, sorry, sollte umgekehrt da stehen, also

$\begin{eqnarray*} \vec{CA}=\begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.11.2012, 18:32

riwe

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Zitat:

Original von *Gast*
da sollte dann noch
$\begin{eqnarray*} \vec{CB}=\begin{pmatrix} 8-6 \\ -1-5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A_{Dr} =\frac{1}{2}*|\vec{CA}\times \vec{CB}| \end{eqnarray*}$

stehen

kreuzprodukt in R2 verwirrt

da mußt du schon nach R3 ausweichen.

das ergebnis stimmt dann

09.11.2012, 18:37

*Gast*

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Wie nach R3 ausweichen? Also, ich dachte, dass das auch im R2 geht.
Also, es ist ja dann im Prinzip so, dass die dritte Koordinate jeweils 0 ist und wenn ich dann das Vektorprodukt anwende, bekomme ich das doch raus, oder?

09.11.2012, 18:55

riwe

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wenn du z = 0 setzt, bist du in R3.
(das meinte ich)
und nur dort ist das kreuzprodukt meines wissens definiert

09.11.2012, 19:01

*Gast*

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Ahh okay

, danke

Aber eine Frage hätte ich noch:

Ich habe ja jetzt eigentlich $\begin{eqnarray*} | 36 | \end{eqnarray*}$ da stehen. Muss ich dann nicht eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sqrt{36^2} \end{eqnarray*}$ rechnen, sodass dabei 18 rauskommt? Oder komme ich gerade nur mal wieder mit allem durcheinander, weil ich zu oft darüber nachdenke?
Hehe verwirrt

09.11.2012, 19:40

riwe

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ja natürlich, da habe ich mich von dir auf´s eis locken lassen, ich esel unglücklich

du hast vollkommen recht

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}|36|=18 \end{eqnarray*}$

09.11.2012, 20:55

*Gast*

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Hehe, macht ja nichts, ist mir ja auch noch aufgefallen (du wolltest mich sicher nur testen :wink smile

.

Dankeschön für deine Hilfe.

10.11.2012, 11:05

*Gast*

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Hallo, ich nochmal,

da mein Verfahren ja gestern doch richtig war, habe ich mir mal die Herleitung des Ganzen angesehen. Diese beginnt ja mit dem Ansatz (hier für ein Parallelogramm, aber geteilt durch zwei ist es dann ja wieder ein Dreieck):

$\begin{eqnarray*} A=| \vec{a} | *h_{a} \end{eqnarray*}$

mit h_{a}= | \vec{b} |*\sin(\alpha )

Aber mir fällt es schwer, zu verstehen, warum der Betrag von Vektor b da noch steht. Also, das Ersetzen der Höhe ist mir nicht ganz klar.
Ich habe versucht, es mir anhand einer Verbildlichung klar zu machen, aber das hat nicht ganz geklappt verwirrt

10.11.2012, 11:57

*Gast*

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Okay, habe es doch verstanden sin (a) = Gegenkathete/Hypothenuse Wink

Und umgestellt ergibt sich die Formel ja dann

10.11.2012, 12:09

Leopold

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Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ kann man die Fläche des Dreiecks, das durch die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} \, , \ \vec{v} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aufgespannt wird, einfach mit

$\begin{eqnarray*} F = \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

berechnen. Der Flächeninhalt bekommt je nach Orientierung der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray*}$ ein Vorzeichen. Ist man daran nicht interessiert, muß man auf der rechten Seite noch den Betrag nehmen.

Die Figur zeigt, wie es dazu kommt:

[attach]26614[/attach]

$\begin{eqnarray*} F = ad - \frac{1}{2} ac - \frac{1}{2} bd - \frac{1}{2} \left( a-b \right)\left( d-c \right) = ad - \frac{1}{2} ac - \frac{1}{2} bd - \frac{1}{2} ad + \frac{1}{2} ac + \frac{1}{2} bd - \frac{1}{2} bc = \frac{1}{2} \left( ad - bc \right) \end{eqnarray*}$

Natürlich hängt der Beweis von der speziellen Lage der Vektoren ab. Es sind also einige Fallunterscheidungen durchzuführen.

Immerhin zeigt sich, wie elementar die ganze Sache ist. Der Umweg über das Dreidimensionale mit seinen übermächtigen Formeln hat da doch etwas stark Gekünsteltes.

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