Konvergenz von Folgen

10.11.2012, 16:34

Sasu132

Konvergenz von Folgen

Meine Frage:
Hallo,

ich hänge schon seit einigen Tagen und vielen mühseligen Stunden an einer Aufgabe unseres derzeitig Übungsblattes fest.

Ich weiß nicht genau wie ich da anfangen soll zu rechnen, vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen unglücklich

Es ist die Aufgabe 3a und b.

Vielen Dank schonmal smile

Viele Grüße

Meine Ideen:
Wäre lieb wenn ihr mir ein paar Tipps für den Ansatz geben könntet.

10.11.2012, 20:27

Sasu132

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keiner eine idee? unglücklich

10.11.2012, 21:31

Skolja

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naja da du konvergenz zeigen sollst,
wäre meine erste Frage erstmal was du über konvergenz weist, bzw. darüber wie man Konvergenz zeigt?

10.11.2012, 21:48

Sasu132

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$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ heißt konvergent gegen a, falls $\begin{eqnarray*} \forall \in > 0 \exists n0 \in \mathbb N :| a_{n} - a | < \in und \forall n \geq n0 \end{eqnarray*}$

Jede konvergente Folge ist beschränkt und monoton.

Nullfolgen und so kenne ich auch.

10.11.2012, 22:20

Skolja

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mmh ok
also bei der 3 a muss ich leider so spontan passen...
Bei der 3 b kannst du dir vielleicht mal versuchen vorzustellen was jetzt passiert, wenn du für n verschiednen Werte einsetzt...
Also wenn du dir ein festes x nimmst und dann n gegen unendlcih laufen lässt was passiert dann mit der Funktion?
Kriegt man bei der Subtraktion Werte raus dies sich immer mehr einem Wert annähern oder eher nicht?
So würde ich das machen, mir erstmal überlegen was rauskommt und dann gucken, dass man das mathematisch beweist...
Aber vielleicht erbahrmt sich ja soch noch jemand der mehr Ahnung hat.
Ich drück dir die Daumen smile

11.11.2012, 10:27

Sasu132

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Ich verstehe nicht was es mit den eckigen Klammern [] auf sich hat und wie ich damit rechnen muss unglücklich

"Dabei bezeichne für y ..." ??????

11.11.2012, 12:03

Physi-Anfänger

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Also dass jede Konvergente Folge monoton und beschränkt ist stimmt nicht... die Umkehrung stimmt allerdings...
nimm zb $\begin{eqnarray*} ((-1)^n)/n \end{eqnarray*}$ die konvergiert gegen 0 ist aber nicht monoton.
du musst dir erstmal klarmachen, was deine Folgen machen.
a) die folge nimmt sich ein intervall linke grenze erster wert, rechte grenze 2. wert, mittelwert zwischen 1 und 2 ist dann der 3. wert, der 4. ist die mitte zwischen dem 3. und 2. usw... die Folge ist zwar beschränkt (aus dem Intervall [a,b] kommt sie nie raus), aber leider nicht monoton. Hier hilft das Cauchykriterium, wenn ihr das schon hattet:
eine folge (an) ist dann konvergent, wenn
für alle epsilon>0 ein n0 existiert, sodass für alle n und m größer als n0 gilt: |an-am|<epsilon
(wenn also die Abstände zwischen den folgengliedern beliebig klein werden)
für a0 ist der abstand zu den nächsten folgengliedern höchstens die Intervalllänge also |b-a|, für a1 ist der abstand dann nurnoch maximal halb so groß zu den nächsten gliedern, also 1/2|b-a|, das geht immer so weiter...
Allgemein kannst du also sagen für ein an ist der abstand zu den nächstn gliedern höchstens (1/2)^n|b-a| und das soll kleiner als ein beliebiges epsilon werden, sprich ich sag dir ein epsilon, und du musst mir ein n sagen, ab dem alle folgenden abstände der folgenglieder kleiner als mein epsilon werden... das sollte jetzt einfach sein smile

b) die klammern sind doch da erklärt, im Prinzip sind das die unteren Gaußklammern, (wenn auch das Symbol dafür nicht dem Standardsymbol entspricht) es bedeutet nichts anderes als, du rundest immer ab, also [1.2]=1; [7.8]=7
dafür überleg dir einfach mal ne folge, sagen wir x ist 0.2, dann folgt
x0=0*0.2+abrunden(0*0.2)=0;
x1=1*0.2+abrunden(1*0.2)=0.2;
x2=0.4;x3=0.6;x4=0.8;
x5=5*0.2-abrunden(5*0.2)=1-1=0;
x6=1.2-1=0.2, usw...
so jetzt überlegst du dir ob das konvergiert
(Beweis für nicht-Konvergenz machst geht so: eine folge an konvergiert dann nicht, wenn ein epsilon>0 existiert, sodass für alle n0 ein n>n0 existiert, sodass |an0-an|>epsilon)

11.11.2012, 12:10

RavenOnJ

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beschränkt muss sie schon sein, sonst kann sie nicht konvergieren.

Gruß
Peter

11.11.2012, 12:19

chris95

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Bei 3.a) wuerde ich zeigen dass es eine Cauchyfolge ist und da IR vollstaendig ist, konvergiert jede Cauchyfolge.

11.11.2012, 13:02

Bronco Bamma

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Aus der Rekursionvorschrift folgt:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_n=-\frac 12(x_n-x_{n-1}). \end{eqnarray*}$

Induktiv folgt daraus weiter:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_n=\left(-\frac 12\right)^n(x_1-x_0). \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du einerseits diesen Ausdruck und andererseits die Teleskopstruktur ausnutzen um folgende Summe zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n(x_{k+1}-x_k). \end{eqnarray*}$

Der anschließende Grenzübergang liefert dann

$\begin{eqnarray*} x_0+\frac 23\cdot (x_1-x_0) \end{eqnarray*}$

als Grenzwert.

11.11.2012, 14:03

RavenOnJ

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zu 3b) Es gibt drei $\begin{align*} x\in \mathbb{R} \end{align*}$ , für die die Folge konvergiert. Für alle anderen x hat die Folge eine endliche Zahl > 1 von Häufungspunkten, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich viele, ja nach dem Wert von x.

Gruß
Peter

12.11.2012, 12:51

Sasu132

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soo nun mal zu 3b)
Die Folge konvergiert ja gegen 1, die 1 ins jedoch nicht im Definitionsbereich enthalten (siehe Aufgabenstellung), d.h. ich muss nun noch zeigen, dass die Folge nicht gegen 0 konvergiert.
Ist das richtig?

Ich habe jetzt mal einen Lösungsansatz aufgeschrieben, vermute aber, dass das ziemlich kompliziert ist und auch viel einfacher gehn muss Big Laugh

12.11.2012, 12:57

Sasu132

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bei 3a) habe ich nun anhand eines Beispiels gezeigt, dass die Folge eine Cauchyfolge ist.
Nur leider ist das ja kein richtiger Beweis.

Nun weiß ich nicht genau wie ich das verallgemeinern soll.

@ Physi Anfänger: Den Anfang verstehe ich ja smile

Nur weiß ich nicht wie (1/2)^n|b-a| kleiner als ein beliebige Epsilon sein soll??? Also wie ich das beweisen kann.

Das mit der Rekursionsvorschrift hört sich auch gut an, nur leider hatten wir das noch nicht.
Kann mir das vlt jemand erklären? Wie beweise ich damit die Konvergenz?

12.11.2012, 13:49

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Sasu132
soo nun mal zu 3b)
Die Folge konvergiert ja gegen 1, ...

Mir ist nicht klar, was du damit meinst. Bei x = 1 ist $\begin{align*} \forall n: x_n = nx - \lfloor nx\rfloor =0 \end{align*}$ . Aber wie du schon schriebst, gehört die 1 nicht zum offenen Intervall (0,1).

Gruß
Peter

12.11.2012, 14:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von RavenOnJ
zu 3b) Es gibt drei $\begin{align*} x\in \mathbb{R} \end{align*}$ , für die die Folge konvergiert.

Wieso "drei"? Es sind unendlich viele, und zwar die ganzen Zahlen. Für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , insbesondere auch für alle hier nur in Frage kommenden $\begin{eqnarray*} x\in (0,1) \cap \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , liegt Divergenz vor.

12.11.2012, 15:33

RavenOnJ

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Zitat:

Original von HAL 9000

Wieso "drei"? Es sind unendlich viele, und zwar die ganzen Zahlen. Für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , insbesondere auch für alle hier nur in Frage kommenden $\begin{eqnarray*} x\in (0,1) \cap \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , liegt Divergenz vor.

Ist richtig, natürlich konvergiert die Folge für alle ganzen Zahlen gegen 0. Manchmal spielen mir meine Gehirnwindungen einen Streich Augenzwinkern

.

Gruß
Peter

12.11.2012, 16:08

Sasu132

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ok und wie schreib ich das jetzt auf???
glaube so wie ich das aufgeschrieben hab ist das etwas umständlich oder?

12.11.2012, 16:21

HAL 9000

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Das mit der Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{az}=0 \end{eqnarray*}$ ist doch schon mal gut. Rechne doch einfach mal konkret den Nachfolger aus, d.h. $\begin{eqnarray*} x_{az+1} \end{eqnarray*}$ , dann siehst du, dass da ebenfalls ein konstanter (d.h. von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ unabhängiger) Wert rauskommt, der aber von Null verschieden ist. Damit hast du eine zweite konvergente Teilfolge mit einem anderen Grenzwert als die erste Teilfolge...

12.11.2012, 16:54

Sasu132

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kannst du mir vlt mal zeigen wie ich das ganze jetzt aufschreiben muss???? unglücklich

*verstehen tue ich das! nur wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf...

12.11.2012, 17:02

HAL 9000

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Es ist ja $\begin{eqnarray*} 0< x=\frac{m}{z} < 1 \end{eqnarray*}$ , damit gilt

$\begin{eqnarray*} x_{az+1} = (az+1)\frac{m}{z} - \left\lfloor (az+1)\frac{m}{z} \right\rfloor = am+\frac{m}{z} - \left\lfloor am +\frac{m}{z} \right\rfloor = am+x-am = x \end{eqnarray*}$ .

14.11.2012, 18:40

Sasu132

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ok und wie kann ich jetzt damit zeigen, dass das ganze nicht konvergiert??

14.11.2012, 18:41

Sasu132

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ich könnte wieder anhand von beispiele zeigen, dass die folge "springt", aber das geht ja nicht, ich muss ja die konvergenzdefinition widerlegen. aber wi mache ich das jetzt mit diesem ausdruck?

14.11.2012, 20:38

HAL 9000

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Ich hatte angenommen, dass dir folgendes bekannt ist.

Zitat:

Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist ebenfalls konvergent, und deren Grenzwert ist gleich dem der Originalfolge.

Eine einfache Folgerung daraus ist, dass im Fall zweier konvergenter Teilfolgen, die unterschiedliche Grenzwerte haben, die Originalfolge divergent sein muss.

14.11.2012, 21:52

Sasu132

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aso...du meinst also das wenn x(az+1) gegen x geht - wie du ja oben geschrieben hast. und x(az) gegen 0, dann muss xn divergent sein oder?

14.11.2012, 21:53

Sasu132

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wie zeige ich denn jetzt das x(az) gegen 0 geht? könntest du mir das vlt nochmal aufschreiben?

15.11.2012, 10:40

HAL 9000

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Das ist doch noch einfacher als das oben:

$\begin{eqnarray*} x_{az} = az\frac{m}{z} - \left\lfloor az\frac{m}{z} \right\rfloor = am - \left\lfloor am \right\rfloor = am-am = 0 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , und folglich auch $\begin{eqnarray*} \lim_{a\to\infty} x_{az} = 0 \end{eqnarray*}$ .

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