Gleichheit von Abbildungen
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11.11.2012, 12:17 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Abbildungen
Meine Frage:
Hi smile Ich habe folgende Abbildungen f: X-->Y und h: Y-->Z und es soll gelten: (f°h)^-1 (A)= h^-1(f^-1(A)) und A ist eine Teilmenge von Z. Nun soll bewiesen werden, dass die Aussage stimmt.

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass ich die linke Seite umformen kann und so auf die rechte Seite komme, aber reicht das als Beweis??

Vielen, vielen Dank schon mal für Eure Antworten smile
11.11.2012, 12:58 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Hi Wink ist denn hier niemand, der mir helfen kann?? Hilfe Tränen
11.11.2012, 14:38 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Hat jemand eine Idee und könnte mir meine Frage beantworten? smile
11.11.2012, 15:14 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Kann mir jemand helfen und sagen, ob meine Idee für den Beweis ausreichend ist? Hilfe
11.11.2012, 15:53 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Etwas Geduld kann nicht schaden Augenzwinkern

Was du mit deiner Idee aussagen möchtest, ist mir aber nicht ganz klar.
Wie möchtest du die linke Seite umformen?
11.11.2012, 16:17 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Geduld ist nicht gerade eine meiner Stärken Augenzwinkern

Ich mir gedacht, dass man das so schreiben könnte:

(h°f)^-1 (A) = (f^-1)°(h^-1) (A) = f^-1(h^-1(A)) , weil ja f^-1(Y)=X und h^-1(A) =Y, also könnte man h^-1 für Y einsetzen und dann hätte man die rechte Seite schon dastehen.
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11.11.2012, 16:22 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Zitat:
Original von Melaniie
(h°f)^-1 (A) = (f^-1)°(h^-1) (A) = f^-1(h^-1(A))

Die Verknüpfung kannst du hier nicht anwenden, da du ja mit Urbildern, nicht mit Umkehrfunktionen rechnest.
Zitat:
h^-1(A) =Y

Das stimmt im allgemeinen auch nicht.

Mache dir erst einmal klar, welche Objekte hier gleichgesetzt sind und wie die Standard-Vorgehensweise ist, um deren Gleichheit zu zeigen.
11.11.2012, 16:27 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Achso. Ok. Könnte ich es denn mit der Definition von Urbildern beweisen?
11.11.2012, 16:29 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Klar, womit denn auch sonst, wenn es um Urbilder geht? Augenzwinkern
11.11.2012, 16:33 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ich wollte nur sicher gehen Augenzwinkern Und wenn die gleichen Mengen rauskommen, dann ist das der Beweis, oder? smile
11.11.2012, 16:33 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ja, wenn du zeigen kannst, dass beide Mengen gleich sind, dann gilt die Gleichheit natürlich.
11.11.2012, 16:36 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Super, danke smile und jetzt habe ich noch eine Frage:
nämlich wenn ich zwei bijektive Funktionen habe, dann funktioniert ja die Umkehrfunktion, könnte ich da dann meinen "ersten Weg" machen oder muss ich es da dann auch über die Definition von Urbildern machen, weil es ja da auch um Mengen und nicht um einzelne Elemente geht.
11.11.2012, 16:39 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Wenn die Funktionen bijektiv wären, dann wäre dein erster Weg auch richtig – dann wäre das Urbild das Bild der Umkehrfunktion und die Umkehrfunktion von wäre dann .
11.11.2012, 16:47 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ok smile und wie würde man diese Gleichung (h°f)^-1= f^-1°h^-1 beweisen?
11.11.2012, 16:51 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Wie würdest du es denn versuchen?
11.11.2012, 16:56 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ich würde es auch über die Definition versuchen, wobei ich die rechte Seite zu f^-1(g^-1) umformen würde.
11.11.2012, 16:57 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Über welche Definition? Und was möchtest du wie umformen? (und was ist ?)
11.11.2012, 16:58 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
ich meinte f^-1(h^-1)
11.11.2012, 17:00 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Über die Definition vom Urbild.
11.11.2012, 17:03 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Und wie sähe dein Beweis dann aus?
11.11.2012, 17:06 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ich weiß es nicht, weil irgendwie komme ich nicht weiter.
Ist der Weg denn überhaupt sinnvoll und richtig??
11.11.2012, 17:13 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Je nachdem, was du mit Urbild meinst bzw. was du beweisen möchtest.
Wenn es um bijektive Funktionen geht, d.h. um , würde ich einzelne Punkte betrachten.
Im ursprünglichen Beweis Urbilder.
11.11.2012, 17:17 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ok. Mit einzelnen Punkten meinst du z.B. f(a)=f(b) --> a=b usw. ... (also was nach der Definition von Bijektivität gilt)
11.11.2012, 17:28 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ich meinte eher etwas wie
11.11.2012, 17:30 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Sowas habe ich jetzt auch, aber wie schaffe ich den Bezug zur Bijektivität? Oder ist er schon gegeben, weil ich die ganze Menge Z nehme und dann wieder die ganze Menge X herausbekomme?
11.11.2012, 17:42 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Die Bijektivität erlaubt dir überhaupt erst die Benutzung der Umkehrfunktion.
11.11.2012, 17:43 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ja, stimmt. Aber das ist ja noch nicht der Beweis..oder?
11.11.2012, 18:00 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Natürlich nicht.
Du musst dazu erst noch zeigen, dass für alle

gilt.
11.11.2012, 18:47 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Wie fange ich den Beweis an? Könntest du mir einen Tipp geben?
11.11.2012, 20:07 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Fange z.B. an mit:
Sei , d.h. .
11.11.2012, 20:12 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
das klingt logisch, aber wie komme ich dann darauf, dass es für alle z von Z gilt?
11.11.2012, 20:15 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Wenn du die Gleichheit für ein beliebiges gezeigt hast, gilt sie auch für alle .
11.11.2012, 20:20 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Wäre h(y)=z der nächste Schritt??
11.11.2012, 20:55 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Kommt darauf an, was sein soll.
11.11.2012, 20:59 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
y=f(x), aber ich habe noch eine andere Idee, nämlich:
man könnte von h(f(x))=z die Umkehrfunktion bilden und somit hätte man f^-1(h^-1(z))=x
würde das so gehen?
11.11.2012, 21:57 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Ja, wenn du beide Umkehrfunktionen einzeln wirken lässt und dann noch erklärst, wieso das die Aussage beweist.
11.11.2012, 22:01 Melaniie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Abbildungen
Gut, dann mache ich das so smile Danke für die Hilfe smile
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