Kern und Bild einer (endlos) Matrix

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MaxderMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild einer (endlos) Matrix
Meine Frage:
Hallo,
erstmal eine kleine Entschuldigung. Latex erschließt sich mir noch nicht so wirklich, deswegen schreibe ich die Frage (hoffentlich verständlich) so auf.

Zu Prüfen ist, ob die Abbildung
L: R^n-->R, L(x1,x2....xn)^T = x1
linear ist. Dann soll die Dimension und Basis des Kernsbzw.des Bildes angegeben werden.

Meine Ideen:
Durch überprüfen auf Additivität und Homogenität bin ich dahinter gekommen,dass es sich um eine lineare Abbildung handelt.
Mir bereitet es jedoch Probelme,jetzt den Kern zu bestimmen. Mir ist klar, dass ein Kern die Menge an Vektoren ist, die auf Null abgebildet werden.
Man könnte also ein LGS aus Ax = 0 bilden.
Die Matrix ist,soweit ist es klar,logischerweise (1,0,0,0.....0n). Wenn man diese in das LGS einsetzt erhält man x1= 0.
Bedeutet das, dass der Kern ein Spaltenvektor ist, deraus bis zu n Nullen besteht? Und wenn ja,was bedeutet das dann für die Dimension und die Basis. Ist Basis dann Nullvektorund Dimension Null?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Warum Du Dir die Mühe machst, über eine Matrix zu gehen, wo der Kern doch schon aus der Abbildungsvorschrift direkt folgt, will sich mir zwar nicht erschließen, aber die Antwort ist in diesem Punkt zumindest richtig: Der Kern besteht aus allen Vektoren des die in der ersten Komponente eine 0 haben.
Wie Du daraus auf den Nullvektor als Basis kommst, bleibt wiederum dein Geheimnis.
Wieviele Vektoren brauchst Du mindestens, um alle Vektoren mit der eben genannten Eigenschaft zu erzeugen oder anders formuliert: Wieviele Variablen des Vektors sind frei wählbar?
MaxderMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall doch dann n-1Vektoren, oder nicht? Einer ist nicht nötig,weil x1 = 0.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

genau, also kennst Du die Dimension. Bleibt nur noch die Frage welche (n-1) linear unabhängige Vektoren Du nehmen kannst.
MaxderMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall würde ich dann einfach Einheitsvektoren nehmen. Also beispielsweise (0,1,0,0,0....,0), (0,0,1,0,0.....0) und so weiter. Gibt es da denn eine vereinfachte oder klare Darstellungsweise?
Kurze Anmerkung: Die Dimension des Bildes ist doch dann 1, da es sich um die x-Achse handelt. Dementsprechend wäre dann (1,0,0,....0) eine Basis des Bildes.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

völlig richtig Freude
Die Basis kannst Du z.B. als darstellen.
 
 
Max derMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

So, habe nochmal rumgerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen: e steht dabei für den Einheitsvektor. Die x danach für die Richtung. ex2 also Einheitsvektor in x2-Richtung.

dim (Kern) = n-1
Basis (Kern) = a1*ex2+a2*ex3+......+a(m)exn

dim (Bild) = 1
Basis (Bild) = lambda * ex1

Hoffe, das ist jetzt so richtig smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Max derMathematiker
So, habe nochmal rumgerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen: e steht dabei für den Einheitsvektor. Die x danach für die Richtung. ex2 also Einheitsvektor in x2-Richtung.

dim (Kern) = n-1
Basis (Kern) = a1*ex2+a2*ex3+......+a(m)exn

dim (Bild) = 1
Basis (Bild) = lambda * ex1

Hoffe, das ist jetzt so richtig smile


Nicht so ganz, die Basis ist eine Menge von Vektoren und nicht eine Linearkombination, also

und der Kern ist die von diesen Vektoren aufgespannte lineare Hülle.
MaxderMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, klar ist ja auch logisch. Basis braucht ja keine Linearkombination.
Danke für die Hilfe smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du den Fehler bei der Basis des Bildes selbst bemerkt?

Dazu noch eine Frage:

Nach Korrektur schreibst du (hoffentlich):

, wie viele Einträge hat der Vektor bzw. aus welchem Vektorraum stammt er?
MaxderMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird ja auf die x1-Achse projeziert. Dementsprechend ist der UVR die x1-Achse.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Also welcher Vektorraum?
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