Diagonalisierung einer Matrix

11.11.2012, 21:28	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierung einer Matrix $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} -1& 1 & \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda _{1,2} = \pm \sqrt{s} \end{eqnarray}$ Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} x_{1} =\begin{pmatrix}1\\ -1+\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2} =\begin{pmatrix}1\\ -1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 + \sqrt{2} & -1 \sqrt(2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zweile 2 + Zweile 1 (1-sqrt(2)) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \sqrt(2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-\sqrt(2) & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeile 2 durch (-2sqrt(2)) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1-\sqrt(2)}{-2\sqrt(2)} & \frac{1}{-2\sqrt(2)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeile 1 - Zeile 2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-\frac{1-\sqrt(2)}{-2\sqrt(2)} & \frac{-1}{-2\sqrt(2)} \\ \frac{1-\sqrt(2)}{-2\sqrt(2)} & \frac{1}{-2\sqrt(2)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Inverse dieser Matrix müsste nun ja (hätte ich keinen Fehler gemacht) wieder die Ausgangsmatrix, also die Matrix der Eigenvektoren ergeben sollen. Lt. Wolfram Alpha ist die Inverse dieser Matrix jedoch nicht die Ursprungsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 + \sqrt{2} & -1 \sqrt(2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe also irgendwo einen Fehler gemacht. Könnte mir BITTE jemand helfen. Hab wirklich alles mehrmals kontrolliert, aber ich komm nicht dahinter ...
12.11.2012, 11:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat folgende Eigenwerte und Eigenvektoren: Zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_1=+\sqrt{2} \end{eqnarray}$ gehört der Eigenvektor $\begin{eqnarray} \vec x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1+\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_2=-\sqrt{2} \end{eqnarray}$ gehört der Eigenvektor $\begin{eqnarray} \vec x_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ziel ist es , eine diagonale Formenmatrix $\begin{eqnarray} M'=D^TMD \end{eqnarray}$ zu bekommen. Dieser Fall tritt ein, wenn die Spalten der Transformationsmatrix D gerade die (beliebig normierten) Eigenvektoren sind, also $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1+\sqrt{2} & 1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Tatsächlich bekommt man mit dieser Transformationsmatrix folgende diagonale Formenmatrix $\begin{eqnarray} M'=D^TMD=4 \cdot\begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als Probe muss umgekehrt gelten $\begin{eqnarray} M=D^{T-1}M'D^{-1} \end{eqnarray}$ ------------ Hinweis: Wenn man die Eigenvektoren und damit die Spalten derTransformationsmatrix so normiert, dass deren Länge gerade der Kehrwert der jeweiligen Eigenwerte ist, dann bekommt die neue Formenmatrix die besonders einfache Gestalt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} +1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
20.11.2012, 18:55	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Ethos, danke dir für deine Zeit. Ich habe mich in der Zwischenzeit mit anderen Aufgaben beschäftigt und komme daher erst jetzt wieder auf diesen Thread. Ich habe falsche Eigenwerte rausbekommen. Entsprechend war das ganze von Anfang an schon falsch und nicht erst die Berechnung der Inversen...

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