Vereinfachung und senkrechte Vektoren

11.11.2012, 21:32

baba2k

Vereinfachung und senkrechte Vektoren

Hallo zusammen,

ich komme mit einer Aufgabe für kommende Woche nicht ganz klar:

(a) Man verienfache folgenden Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{c}-\vec{b})+\vec{c}\times(\vec{a}-\vec{b})-(\vec{c}-\vec{a})\times(\vec{b}+\vec{a}) \end{eqnarray*}$

(b)
Man bestimme alle Vektoren die auf $\begin{eqnarray*} \vec{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ senkrecht stehen und die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ haben.

Mein Ansatz zu (a):
- Kreuzprodukt vor Addition/Substraktion (Kreuzprodukt vor Multiplikation/Division vor Addition/Subdraktion)?

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\times\vec{c}+\vec{a}\times-\vec{b}+\vec{b}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}+\vec{c}\times\vec{a}+\vec{c}\times\vec{-b}-\vec{c}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{a} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie ergibt as keinen Sinn?

Mein Ansatz zu (b):
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}=0 \end{eqnarray*}$ sein muss, damit die Vektoren senkrecht sind.
Ich könnte jetzt $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ nehmen und für den zweiten $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wählen, dann habe ich aber nur alle senkrechten Vektoren zu $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und was hat das ganze mit der Länge zu tun?

Wahrscheinlich sind die beiden Aufgaben ganz einfach, aber irgendwie bin ich zu blind um drauf zu kommen. Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.

Vielen Dank!

11.11.2012, 23:59

RavenOnJ

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zu a) Vereinfachen heißt nicht ausmultiplizieren, sondern Summanden weglassen, die sich gegenseitig aufheben, oder gleiche Faktoren in Brüchen gegeneinander kürzen o.ä. In deinem Fall kann man eine Menge vereinfachen. Dazu muss man z.B. die Antikommutativität des Kreuzproduktes $\begin{align*} \vec x \times \vec y = -\vec y \times \vec x \end{align*}$ nutzen. Daraus folgt auch, dass $\begin{align*} \vec x\times \vec x = 0 \end{align*}$ . Das Ganze lässt sich auf ein einziges Kreuzprodukt vereinfachen.

zu b) Jeder Vektor $\begin{align*} k\cdot \vec x\times \vec y \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{R} \end{align*}$ steht auf den Vektoren $\begin{align*} \vec x \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec y \end{align*}$ senkrecht.

Gruß
Peter

12.11.2012, 13:31

baba2k

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Okay also

(a) ist ja eigentlich ganz einfach, habe das mit nem Komilitonen vergleichen. Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times\vec{b}+3\vec{b}\times\vec{c} \end{eqnarray*}$

Aber bei (b) komme ich nicht weiter, wie komme ich auf die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ? Nach deinem Ansatz

$\begin{eqnarray*} k\cdot\vec{u}\times\vec{v}~(k\in\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} ~(k\in\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\cdot\begin{pmatrix} -7 \\ -10 \\ 9 \end{pmatrix}~(k\in\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Danke!

12.11.2012, 15:45

RavenOnJ

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Und jetzt? k so bestimmen, dass die Länge der möglichen Vektoren ich $\begin{align*} \sqrt 7 \end{align*}$

Gruß
Peter

12.11.2012, 16:04

baba2k

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Genau da komm ich nicht weiter

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(k\cdot(-7))^2+(k\cdot(-10))^2+(k\cdot(9))^2} = \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

Muss aber irgendwie Vektroren rausbekommen.

12.11.2012, 16:30

RavenOnJ

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Zitat:

Original von baba2k
Genau da komm ich nicht weiter

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(k\cdot(-7))^2+(k\cdot(-10))^2+(k\cdot(9))^2} = \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

du kannst doch k aus der Wurzel ziehen ...

Gruß
Peter

12.11.2012, 16:52

baba2k

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Das stimmt:

$\begin{eqnarray*} k\cdot\sqrt{(-7)^2+(-10)^2+9^2} = \sqrt{7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\cdot\sqrt{230} = \sqrt{7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{230}} \end{eqnarray*}$

Aber wie bekomme ich jetzt die Vektoren heraus?

12.11.2012, 17:56

RavenOnJ

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du multiplizierst den gefundenen Basisvektor mit deinem k. Wenn du dich nicht verrechnet hast, sollte der resultierende Vektor dann die Länge $\begin{align*} \sqrt 7 \end{align*}$ haben. Übrigens der negative auch.

Gruß
Peter

12.11.2012, 20:10

baba2k

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Mh hab alles nochmal nachgerechnet, aber es kommen immer komische Kommazahlen raus, die ich runden müsste..

//EDIT: Aber das Ergebnis passt auch ungefähr.

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