Grenzwerte und Konvergenz

12.11.2012, 19:30	Rosa_Plüschritter94	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte und Konvergenz Hallo Ich wollte nur mal fragen, ob man folgende zwei Aufgaben so lösen kann. Bin mir da durch schlechte Erfahrungen nämlich sehr unsicher^^ 1.) Der Grenzwert von ((n+2)/(n+3))^n soll berechnet werden. Ich habe es wie im ersten Bildanhang gemacht. Meiner Meinung nach richtig. Seht ihr das anders? 2.) Eine Folge xn mit xn>=0. Dafür gilt lim xn (n->unendlich) = a. Dann gilt für die Folge (wurzelaus xn): lim (wurzelaus xn) = wurzelaus a Ich habe es wie im zweiten Bildanhang gemacht. Da bin ich mir allerdings nicht ganz sicher, ob das genügt? Vielen Dank schon mal!
12.11.2012, 20:13	Bronco Bamma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte und Konvergenz a.) stimmt soweit. Du musst es nur noch richtig aufschreiben. Bei b.) hast Du aber nichts bewiesen. Für a>0 könntest Du dort zunächst folgende Abschätzung zeigen $\begin{eqnarray} 0\leq\|\sqrt{x_n}-\sqrt{a}\|\leq\frac{\|x_n-a\|}{\sqrt{a}} \end{eqnarray}$ welche dann die Behauptung liefert.
13.11.2012, 10:16	Rosa_Plüschritter94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte und Konvergenz Und wie kommt man darauf bzw woraus ergibt sich das?
13.11.2012, 10:29	Bronco Bamma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte und Konvergenz Die Abschätzung folgt nach Anwendung der 3. binomischen Formel: $\begin{eqnarray} x_n-a=(\sqrt{x_n}-\sqrt{a})(\sqrt{x_n}+\sqrt{a}). \end{eqnarray}$ Seltsam wie häufig dies nicht gesehen wird und auf deren Anwendbarkeit hingewiesen werden muss.
13.11.2012, 10:43	Rosa_Plüschritter94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte und Konvergenz Ah ok, das hab ich verstandn jetzt. Was ich weniger verstehe ist, wie mir das jetzt weiterhelfen soll... Wie komm ich dann jetzt auf die Behauptung?
13.11.2012, 11:37	Bronco Bamma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte und Konvergenz $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ konv. lt Vor. gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ Es gibt also für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ so, dass für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|x_n-a\|<\varepsilon. \end{eqnarray}$ Wenn Dir jetzt nicht klar wird warum aus dieser Voraussetzung zusammen mit obiger Abschätzung die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sqrt{x_n} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \sqrt{a} \end{eqnarray}$ folgt, dann kann ich Dir leider nicht weiterhelfen.
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