Differentialrechnung

13.11.2012, 16:31

VTT1989

Differentialrechnung

Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich Probleme:

x *lne ^x*lnx

ich würde hier mit der Produktregel arbeiten

u`= 1

v`= das weiß ich leider nicht, wie leitet man lne^...... ab?

Danke

13.11.2012, 16:37

Kasen75

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Hallo,

ersmal muss die Funktion klar sein. Sieht sie so aus?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot ln(e^x) \cdot ln(x) \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen.

13.11.2012, 16:40

VTT1989

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fast, ln(x) muss man hochsetzen also auf der höche von dem x von e^x

13.11.2012, 17:09

Kasen75

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Meinst du wirklich das hier:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot ln(e^{x\cdot ln(x)}) \end{eqnarray*}$

Ich würde hier auch mit der Produktregel arbeiten.

Bei v' musst du eben sukkzessiv vorgehen. Die äußere Ableitung ist ja klar.

Jetzt die innere Ableitung (Klammerausdruck)

Den Ableitung des Exponenten vor das e ziehen. Hier musst du die Produktregel anwenden. Diesen Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.
Schon bist du fertig. smile

Vereinfachungen sind dann noch möglich.

13.11.2012, 17:40

VTT1989

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Ok danke schonmal, ich setze mich später an die Aufgabe nochmal :-)

13.11.2012, 18:01

Kasen75

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OK. Bin gespannt.

14.11.2012, 11:51

VTT1989

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Hallo, ich sitze grade an der aufgabe, leider habe ich bisschen probleme..

was meinst du mit sukkzessiv genau? ich muss doch das x* ln(x) ableiten und das mit $\begin{eqnarray*} e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ multiplizieren oder?

14.11.2012, 11:58

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot ln(e^{x\cdot ln(x)}) \end{eqnarray*}$

Wenn wirklich diese Funktion gemeint ist, dann sollte man zunächst eher mal an den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} log_a(a^x)=x \end{eqnarray*}$ denken, denn damit vereinfacht sich die ganze Sache erheblich.

14.11.2012, 12:03

VTT1989

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verstehe nicht warum ich jetzt von ln auf log gehen muss....

14.11.2012, 12:04

Bjoern1982

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ln ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} log_e \end{eqnarray*}$ .
Entscheidend ist aber eh, was dann nur noch übrig bleibt.

14.11.2012, 12:06

VTT1989

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ich komme überhaupt nicht weiter, was muss ich den jetzt genau rechnen?

14.11.2012, 12:10

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

ich muss doch das x* ln(x) ableiten und das mit $\begin{eqnarray*} e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ multiplizieren oder?

Im Prinzip schon. Das wäre dann die innere Ableitung von v, wobei v gleich $\begin{eqnarray*} ln(e^{x\cdot ln(x)}) \end{eqnarray*}$ ist.

14.11.2012, 12:11

VTT1989

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dann würde da jetzt stehen 1* 1/x * e^x*lnx oder?

14.11.2012, 12:11

Bjoern1982

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Du musst bzw solltest das tun, was ich gerade geschrieben hatte.
Salopp formuliert heben sich halt ln und e auf, das ist der elementare Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen..
Du kannst natürlich auch den komplizierten Weg mit Kasen75 weitergehen, wenn dir das besser gefällt.

14.11.2012, 12:15

Kasen75

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Ich bin jetzt erstmal raus. Es macht keinen Sinn, wenn hier zwei Helfer am Werk sind.
Melde mich vielleicht am Ende nochmal.

Grüße.

14.11.2012, 12:21

VTT1989

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ich würde gerne weitermachen mit dem was kasen gesagt hat

14.11.2012, 12:24

Kasen75

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Dann kannst du ja die innere Ableitung von v machen.

Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

du schreibst:

ich muss doch das x* ln(x) ableiten und das mit $\begin{eqnarray*} e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ multiplizieren oder?

Im Prinzip schon. Das wäre dann die innere Ableitung von v, wobei v gleich $\begin{eqnarray*} ln(e^{x\cdot ln(x)}) \end{eqnarray*}$ ist.

14.11.2012, 12:26

VTT1989

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dann würde da jetzt stehen 1* 1/x * e^x*lnx oder? weil wenn ich x ableite wird es 1 und lnx ableite wird es 1/x

14.11.2012, 12:30

Kasen75

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Prinzipiell hast du x und ln(x) für sich genommen richtig abgeleitet. Jedoch muss du hier die Produktregel anwenden. x und ln(x) sind ja multiplikativ miteinander verbunden.

14.11.2012, 12:32

VTT1989

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dann steht jetzt: 1/x * e^x * lnx....und nun?

14.11.2012, 12:37

Kasen75

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Das ist aber nicht die Produktregel.

x=s
ln(x)=t

Die Ableitung von s*t ist dann $\begin{eqnarray*} s'*t+s*t' \end{eqnarray*}$

Probier nochmal x*ln(x) abzuleiten.

14.11.2012, 12:43

VTT1989

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sry ich habe nicht aufgepasst nach der produktregel würde das so aussehen:

1*ln(x) + x * 1/x

14.11.2012, 12:51

Kasen75

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Genau.

Das lässt sich schreiben als:

$\begin{eqnarray*} ln(x) + 1 \end{eqnarray*}$

Das war jetzt die innere Ableitung von v.

Ich weiß jetzt nicht ob wir schon die äußere Ableitung von v hatten. Wenn nicht dann ist sie noch vorzunehmen.

v ist ja $\begin{eqnarray*} ln(e^{x\cdot ln(x)}) \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ist es dasselbe als ob man ln(u) nach u ableitet. Wobei u dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ entspricht.

14.11.2012, 12:55

VTT1989

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und nun komme ich überhaupt nicht weiter.... ich muss jetzt irgendwas ableiten und das mit der e-funktion multiplizieren, richtig? aber was genau

14.11.2012, 13:02

Kasen75

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Ich versuchs mal anders:
Bei der äußeren Ableitung konzentriert man sich nur auf die äußere Funktion hier ln(u).
Ich nenne es deswegen nicht ln(x), damit man es nicht mit dem x in der eigentlichen Funktion verwechselt.

Deswegen muss man nur ln(u) nach u ableiten. Wenn man dies dann getan hat, kann man danach wieder für u den Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Was ist erstmal die Ableitung von ln(u) nach u ?

14.11.2012, 13:04

VTT1989

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lnx +1 *e^.......???

14.11.2012, 13:07

Kasen75

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Das ist doch die innere Ableitung. Die hatten wir schon.

Wir sind jetzt bei der äußeren Ableitung.

Versuch doch mal das, was ich im letzten Beitrag geschrieben habe.

14.11.2012, 13:09

VTT1989

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das verstehe ich nicht ... schreib mir doch ganz schnell wie du es jetzt rechnen würdest und ich versuche das nachzuvollziehen

14.11.2012, 13:10

Kasen75

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Du weißt doch, was die Ableitung von ln(u) ist. Vor mir aus auch ln(x).

Wir sind ja gleich fertig.

14.11.2012, 13:13

VTT1989

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1/x

14.11.2012, 13:28

Kasen75

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Geht doch.

Also die Ableitung von ln(u) ist 1/u.

Jetzt kann man wieder Rücksubstituieren. Da u = $\begin{eqnarray*} e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ ist, ist die äußere Ableitung von v gleich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{x\cdot ln(x)}} \end{eqnarray*}$

v' war ja (innere Ableitung von v) * (äußere Ableitung von v)
Somit ergibt sich für $\begin{eqnarray*} v' = (ln(x)+1) \cdot e^{x\cdot ln(x)} \cdot \frac{1}{e^{x\cdot ln(x)}} \end{eqnarray*}$

Die Ausgangfunktion war: $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{\cdot ln(e^{x\cdot ln(x)})} \end{eqnarray*}$

Produktregel (u*v)'=u'*v+v'*u

Im Prinzip hast du jetzt alles bestimmt, jetzt musst du nur noch zusammensetzen.

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