Hilfe zu Fachreferat

08.02.2007, 18:44

babsi

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Hilfe zu Fachreferat

Hallo, bitte helft mir, ich muss nächste Woche Donnerstag mein Fachreferat über das Thema Darstellung der Zusammenhänge zwischen der Vielfachheit der Nullstellen der zweiten Ableitung und möglichen Wendepunkten halten.

Ich habe das Thema erst vor kurzem bekommen und erst letzten Freitag erfahren, dass ich es nächste Woche halten muss.

Zu meinem Problem: Wer kann mir brauchbares Informationsmaterial oder Tips geben??? Bin über alles dankbar. Gott

Gott

Ich habe natürlich am Montag sofort einen Mathelehrer angesprochen, der normalerweise total zuverlässig ist, aber er vertröstet mich schon die ganze Woche... unglücklich

unglücklich

Danke mfg babsi

[Mod: Hilferuf aus Titel entfernt]

08.02.2007, 18:45

tigerbine

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RE: Hilfe!!! Fachreferat
Was sind die Bedingungen für einen Wendepunkt?

08.02.2007, 18:48

babsi

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f´´(x)=0

08.02.2007, 18:55

tigerbine

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Das reicht alleine nicht.

Wendepunkt

08.02.2007, 18:58

Lazarus

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f''(x) muss bei der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel vollführen, und das tut es immer dann, wenn f''(x) eine einfache dreifache fünffache (2n+1)-fache nullstelle hat.
ist doch eigentlich ziemlich einsichtig oder ?

08.02.2007, 18:59

babsi

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ok, aber im zusammenhang mit den Nullstellen??

ja habs vergessen, dass man hinreichendes und notwendiges kriterium braucht ok, aber irgendwie ergibt das thema für mich keinen sinn...

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08.02.2007, 19:01

tigerbine

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Sie Lazarus.

08.02.2007, 19:04

babsi

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also praktisch bei ungeraden Nullstellen wechselt dann das Vorzeichen oder??

08.02.2007, 19:15

tigerbine

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ja

08.02.2007, 19:22

babsi

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ok, dann werde ich das mal zeichnen, aber kann ich das irgendwie noch ausformulieren?? oder backgroundwissen?? GLG

08.02.2007, 19:30

tigerbine

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Ehrrlich gesagt weiß ich nicht, was Du noch willst?

Referat (Gliederungsvorschlag)

1. Notwendige Bedingung Wendepunkt -> f''(x)) = 0
2. Hinreichende Bedingung Wendepunkt -> VZW von f''

3. Übertragung auf die Vielfachheit der Nullstellen. D.h. warum wechselt f'' das Vorzeichen, wenn die VF ungerade ist?

Soviel gibt das Thema nun auch nicht her...

08.02.2007, 19:33

discuss

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Vielfachheit von Nullstellen
Hy babsi,

ich hoffe ich kann dir helfen!

Beachte die Vielfachheit von Nullstellen:

x1 ist einfache Nullstelle von f $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(x) wechselt das Vorzeichen bei x1 das zugehörige Schaubild durchschneidet die x-Achse in x1

x1 ist einfache Nullstelle von f' $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f'(x) wechselt das Vorzeichen bei x1 (das Steigungsverhalten von f ändert sich) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x1 ist Extremstelle von f

x1 ist doppelte Nullstelle von f $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(x) wechselt das vorzeichen bei x1 nicht das zugehörige Schaubild berührt die x-Achse in x1

x1 ist doppelte Nullstelle von f' $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f'(x) wechselt das Vorzeichen bei x1 nicht $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x1 ist keine Extremstelle von f

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!

gruß daniel

08.02.2007, 19:33

babsi

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danke, als meinst du das würde so genügen??

10.02.2007, 13:56

babsi

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hallo, aber warum wechselt denn nun f" (x) das Vorzeichen, wenn die Vielfachheit ungerade ist??? sorry aber ich bin im moment total verplant. danke im voraus. glg babsi

10.02.2007, 14:00

tigerbine

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Betrachten wir mal x=1 als Beispiel. Wir betrachten nun die Funktinswerte für x-Werte ganz nahe bei 1. Dann ist

(x-1)² > 0

(x-1) hingegen ist für x>1 größer 0, für x<1 kleiner 0

Da wir ganz nahe bei 1 sind, haben die anderen Faktoren ihr Vorzeichen nicht geändert.

10.02.2007, 14:18

babsi

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aber x^2 ist doch eine gerade vielfachheit oder etwa nicht??

10.02.2007, 14:25

tigerbine

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Ich hab Dir gerade und ungerade hingeschrieben gehabt.

Darstellung der Zusammenhänge zwischen der Vielfachheit der Nullstellen der zweiten Ableitung und möglichen Wendepunkten

Anforderungen an die Funktion

Funktion ist dreimal differenzierbar

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = 0 \wedge f'''(x_0) \neq 0 \Rightarrow x_0 \text{ ist WP} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = 0 \wedge f'''(x_0) \neq 0 \wedge f'(x_0) = 0 \Rightarrow x_0 \text{ ist TP} \end{eqnarray*}$

Welche Klasse von Funktion willst du eigentlich untersuchen? Denn Du musst ja für diese Vielfachheitsbegründung eine Faktorisierung angeben. Ich nenne mal ein paar...

Polynome
gebrochen rationale Funktionen
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktionen
trigonometische Funktionen

10.02.2007, 14:38

babsi

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oh sorry, hatte ich übersehen... ich bin mir nicht ganz sicher aber ich glaube es sind exponentialfunktionen z. b. x^3+2x-1 so etwas in der Art.

10.02.2007, 14:40

tigerbine

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Das sind nun wieder eher Polynome..

Ich bin heute abend (ab 20.00) wieder hier. Wir können uns dann gerne weiter unterhalten. Lies dir doch bei wikipedia ein parr Infos zu Polynomen auf den Reellen Zahlen durch.

Gruß,
tigerbine Wink

Wink

10.02.2007, 14:48

babsi

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danke... wie peinlich. LOL Hammer

LOL Hammer

mathe ist nicht so ganz mein fach... hatte ich das schon erwähnt??? egal...

bis heute abend dann.. Wink

Wink

glg babsi

10.02.2007, 20:30

babsi

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hast du noch tips?? btw wie könnte ich das zeichen, das der zusammenhang ersichtlich ist?? LG

10.02.2007, 20:36

tigerbine

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Also es geht um Polynome?

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \end{eqnarray*}$

Keine anderen Funktionen? Welchse Sätze hattet ihr in der Schule bzgl. des Wendepunkts? Welche Klasse bist Du? Wink

Wink

10.02.2007, 20:43

babsi

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ja so wie ich vorhin das beispiel gebracht hatte. ich bin auf der fos in der 12.klasse wirtschaft.

10.02.2007, 20:59

tigerbine

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Welche Sätze hattet ihr in der Schule bzgl. des Wendepunkts? Ist das
Anforderungen an die Funktion

Funktion ist dreimal differenzierbar

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = 0 \wedge f'''(x_0) \neq 0 \Rightarrow x_0 \text{ ist WP} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = 0 \wedge f'''(x_0) \neq 0 \wedge f'(x_0) = 0 \Rightarrow x_0 \text{ ist TP} \end{eqnarray*}$

bekannt?

Wenn f ein Polynom ist, so sind auch seine Ableitungen Polynome. Also ist auch f'' ein Polynom. Das soll nun bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine m-fache Nullstelle haben.

Dann kann schreiben:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=(x-x_0)^m\cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Wobei g das Polynom ist, was man aus der Polynomdivision $\begin{eqnarray*} \frac{f''(x)}{(x-x_0)^m} \end{eqnarray*}$ erhält.

Dabei solltest du klären, warum die Division ohne Rest möglich ist.

Dann ist die Frage, wann/wo wechseln die beiden "Faktoren-polynome" ihr Vorzeichen. Dabei ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle von g.

10.02.2007, 21:06

babsi

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Danke. Das die Funktion dreimal differenzierbar ist, ist mir bekannt.

Das darauffolgende jedoch nicht. Genauer gesagt befinden wir uns im Moment in der Kurvendiskussion, und dabei spielen WEP unter anderem eine Rolle.

10.02.2007, 21:09

tigerbine

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Ja, nur irgendwas müssen wir ja verwenden dürfen. Das mit den Bedingungen darunter, findest du in jeder Formelsammlung (bestimmt auch in deinem Schulbuch).

Dein Referat soll die Alternative - Untersuchung des Vorzeichenwechsels - aufzeigen. Als Einleitung sollte man aber die geposteten Bedingungen bringen.

Nun zur Polynomdivision. Kannst du die? Kannst Du erklären, warum die ohne Rest geht?

Faktorisierung von Polynomen

10.02.2007, 21:15

babsi

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Die Polynomdivision kann ich, wir hatten die aber noch nie mit Rest gehabt.

Warum die ohne Rest geht?? Gute Frage, bis jetzt hatte ich noch nie einen Rest.

Was hat das jetzt mit der Polynomdivsion zu tun?? verwirrt

verwirrt

10.02.2007, 22:04

tigerbine

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Irgendwie ist mein post weg... Also wir nehem jetzt mal an, dass die ohne Rest geht. Druck die Wiki Artikel aus und zeig sie deinem lehrer. Frag, was Du davon als bekannt voraussetzen darfst.

Wir wissen jetzt

$\begin{eqnarray*} f''(x) = (x-x_0)^m\cdot g(x), ~g(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir uns 2 Spezialfälle an:

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = (x-x_0) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = (x-x_0)^2 \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Wann wechselt f'' bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen?

Was weißt Du über die reelen Zahlen?

10.02.2007, 22:32

babsi

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nicht wirklich viel, die gehen von null bis unendlich?!

irgendwie blick ich etz gar nimmer durch. unglücklich

unglücklich

10.02.2007, 22:35

tigerbine

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Nur mit der Ruhe. Also die reellen Zahlen druckst du auch mal den Link aus. Da gibt's auch ein paar kleiner 0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = (x-x_0) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Warum hat f'' bei x0 einen Vorzeichenwechsel?

10.02.2007, 22:38

babsi

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ich weiß es nicht... da an dieser Stelle ein Wendepunkt ist?? geschockt

geschockt

10.02.2007, 22:43

tigerbine

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Das wollen wir doch zeigen! Da kann man das so nicht begründen geschockt

geschockt

Schauen wir uns die Faktoren an.

$\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$

Was gilt da für die Bereiche:

$\begin{eqnarray*} x < x_0, ~x = x_0, ~x_0 < x \end{eqnarray*}$

10.02.2007, 22:51

babsi

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gleich null tep, kleiner null hop, größer null tip... aber das ist glaub ich bei extrema... böse

böse

10.02.2007, 22:56

tigerbine

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verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

So war das gemeint.

$\begin{eqnarray*} x < x_0: ~(x-x_0) < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = x_0:~(x-x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > x_0: ~(x-x_0) > 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt mach Du das mal für Fall 2.

$\begin{eqnarray*} x < x_0: ~(x-x_0)^2 ~?~ 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = x_0:~(x-x_0)^2 ~?~ 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > x_0: ~(x-x_0)^2 ~?~ 0 \end{eqnarray*}$

10.02.2007, 23:02

babsi

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1. >
2. ungleich null
3. <

10.02.2007, 23:12

tigerbine

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Zitat:

Original von babsi
1. >
2. ungleich null
3. <

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

1.

Freude

2. $\begin{eqnarray*} (x_0-x_0)^2 = 0^2 = 0 \end{eqnarray*}$

3. Wie kann ()² < 0 gelten?

Bitte mal drüber nachdenken. Bin mal kurz weg. ca. 15min.

10.02.2007, 23:18

babsi

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3. = 0 ich versteh immer noch net, was wir da grad machen... *langsam verzweifelt bin* traurig

traurig

traurig

traurig

10.02.2007, 23:41

babsi

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ich gehe jetzt, bin nämlich hundemüde.. wenn dir noch was einfällt?!?! bist du morgen irgendwann online?? also bin in der früh und am mittag nachmittag drin, brauch spätestens bis um halb fünf, letzte informationen.

glg babsi

11.02.2007, 00:08

tigerbine

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Dann mach auch ich Fall 2:

$\begin{eqnarray*} x < x_0: ~(x-x_0)^2 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = x_0:~(x-x_0)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > x_0: ~(x-x_0)^2 > 0 \end{eqnarray*}$

Warum das ganze? Weil man folgendes "sagen" kann. Die zweite ableitung gibt die Krümmung des Graphen wieder. Unter einem Wendepunkt verstehen wir einen Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Es muss also gelten:

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Desweiteren muss es, wenn auch sehr kleine, deswegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ geben wo entweder gilt:

$\begin{eqnarray*} x < x_0: ~f''(x) > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > x_0: ~f''(x) < 0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x < x_0: ~f''(x) < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > x_0: ~f''(x) > 0 \end{eqnarray*}$

Nun ist es deine Aufgabe, aus der Vielfachheit der Nullstelle x0 fon f'' zu begründen, ob eine Wendepunkt vorliegt oder nicht.

Notwendige Schritte:

- Faktorisieren fon f'' (Polynomdivision - Links - Wiki)
- Bewertung der einzelnen Faktoren (da sind wir gerade dabei)

Wir haben untersucht, dass im Fall 1 (x-x0) sich das Vorzeichen dieses Faktors ändert, im Fall 2, ändert es sich nicht.

Offen:

Welche Rolle spielt der Faltor g? Ändert der auch sein Vorzeichen? Dann müßt ja nicht aus der ungeraden Potenz von (x-x0) der Wendepunkt folgen.

Ziel:

Begründen, dass es eine kleine Umgebung um x0 gibt, in der g sein Vorzeichen nicht ändert. Wichtig ist dabei, dass x0 keine Nullstelle von g ist. Wiki-stichwort: Stetigkeit.

Offen:

Begründen, dass aus den Folgerungen für () einfache Nullstelle und ()² doppelte Nullstelle die Aussagen für ungerade und gerade Vielfachheiten der Nullstellex0 gelten.

Wiki-Stichwort:
Vollst. Induktion

Damit solltest du bis ich morgen wieder online bin genug zu tun haben. Schätze so gegen 12.00 kann man mi mir rechnen.

Gute Nacht Schläfer

Schläfer

11.02.2007, 10:10

babsi

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Also wir sind im Moment doch bei den ganzrationalen Funktionen... Stimmt das alles dann trotzdem?? GLG

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