Folgen Konvergenz vollständige Induktion

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Folgen Konvergenz vollständige Induktion
Meine Frage:
Das ist die Aufgabe und ich bitte um ausführliche Hilfestellung.

[attach]26681[/attach]

Das steht in 3a)

\lim_{n \to \infty } a_{n} =a

\lim_{n \to \infty } \sqrt{a_{n} } =\sqrt{a}



Meine Ideen:
Leider gar keine Vorstellung vom Lösungsweg und bitte daher um ausführliche Hilfe.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen Konvergenz vollständige Induktion
Hast du denn irgeneine Idee zur Induktion?

Ich meine, den Anfang wird man doch mindestens hinbekommen....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, habe ich nicht. Ich befinde mich während meiner Elternzeit im Fernstudium und da mein Kind gerade Zähne bekommt, bin ich nicht dazu gekommen dieses Kapitel zu bearbeiten.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schlecht, hast du gar keine Ahnung von Induktion?

Dann wird es unmöglich, die Aufgabe zu bearbeiten, sorry....

Wenn dir das Prinzip der Induktion jedoch bekannt ist mache ich dir eine Induktion einmal vor:

zu zeigen: , das ist die Induktionsvorraussetzung.

Induktionsanfang:

n=0

ist wahr.

Induktionsschluss:

Die Aussage sei für ein festes aber beliebiges n bewiesen, zu zeigen ist also unter der Voraussetzung, dass die Aussage auch für n+1 gilt.

Das machen wir "straight forward":


Damit ist die Aussage für alle n bewiesen.
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt mache ich es für für nach unten beschränkt, richtig? Dann schreibe ich mir die ersten Folgenglieder auf und zeige und wie geht es weiter?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Mach doch erst mal das richtig vor, danach machen wir weiter.
 
 
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst Du mit richtig vormachen? Du hast doch alle Schritte bereits aufgeschrieben.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Induktion für die Aussage ?

Sollte man auch noch machen, nach unten beschränkt und monoton wachsend ist ziemlich klar (jede monoton wachsende Folge ist nach unten beschränkt), das wichtige ist doch, dass die Folge auch nach oben beschränkt ist....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte Dich falsch verstanden.

Also:





das ist wahr



lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dringend




So, und das stimmt nicht, es ist , Gleichheit hat da nichts zu suchen....

Okay, dann zur Monotonie, was bedeutet denn Monoton wachsend, also in welcher Relation stehen und zueinander?
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

nur, dass ich Dich richtig verstehe im letzten Schritt muss ich also



schreiben ?

monoton wachsend bedeutet
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, jetzt habe ich auch nicht aufgepasst....

Also folgendermaßen:

Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Warum setzt Du denn jetzt 2 ein und nicht 1 ? Wegen und von der anderen Seite kommend?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, unsere Induktionsvoraussetzung ist ja nun .

Du solltest dich mit dem Induktionsprinzip wirklich vertraut machen, das hier sind kurze, einfache Induktionen.

Aber nun zur Monotonie, eine Idee

P.S: muss jetzt erst mal was essen.....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde es auch nachholen, habe es bis jetzt zeitlich nur noch nicht geschafft.

Zur Monotonie :

Die Vorgabe ist, dass die Folge monoton wachsend ist. Also muss gelten:

\{0}

da mein ist mein

daher :








ist das Müll ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dringend


ist das Müll ?


Jap, ist es, du folgerst aus , also nimmst du an, die Folge ist monoton wachsend und folgerst, dass sie monoton wachsend ist, das ist natürlich ziemlich klar.

Im allgemeinen ist doch:



oder



Eine dieser beiden Zusammenhänge sollte man auch nutzen.
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich verwende kommt doch das raus was bei mir unter daher steht - oder habe ich wieder einen Kopfknoten?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es denn, zu betrachten?
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch nur dann ist doch , oder nicht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist acuh richtig, hilft uns aber nicht weiter, wir würden dann zeigen, dass aus der Annahme "die Folge ist monoton wachsend" folgt, dass die Folge monoton wachsend ist, was natürlich richtig ist, aber kein Beweis.

Aus einer Annahme die Annahme selbst zu folgern ist kein Trick, was aber, wenn die Annahme falsch ist? Tja, dann steht man da....

Also, ich habe da schon etwas zu geschrieben, verfolg das doch mal weiter....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »



-->

für n= 0





also Bedingung erfüllt.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Nein, so einfach nun auch nicht.

Es ist zu zeigen, dass gilt , dazu stellen wir die Gleichung um und zeigen, dass entweder



oder



Dabei setzen wir für jeweils die Folgendefinition ein.
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

War noch am editieren als Du gepostet hast. Jetzt müsste es hoffentlich stimmen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für n=0 kann man das leicht nachrechnen, nun für beliebige n.

Induktion ist auch eine Möglichkeit - habe ich aber nicht nachgerechnet- dann würde ich den Induktionsschluss aber von n-1 --> n machen.....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Für beliebiges n







lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt solltest du dich für einen Weg entscheiden, entweder Induktion oder "straight forward".

Und wenn straight forward dann entweder mit oder mit .

Das ist alles ziemlcih unstrukturiert was du hier machst.

Also, was soll es sein?
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu


straight forward mit





genau das
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, dann fang mal an....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsvoraussetzung:

Induktionsanfang:
n=0

das ist wahr

Induktionsschluss:


ist das so gut?

Beim anderen Weg komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß was ich machen soll.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

So nicht den Induktionsschluss. unglücklich

Wenn wir mit Induktion zeigen möchten, dass gilt:



dann muss der Induktionsanfang für n=0 so ausschauen:



Also soweit okay....


Ich muss sagen, du hast meinen vollsten Respekt dafür, dass du während deines Mutterschutzes weiter studierst, mein Studium hat sich schon in die Länge gezogen weil ich kein Bafög bekommen habe und mein Studium inklusive anfallender Studiengebühren selbst finanzieren musste bzw. wollte, wenn ich nun daran denke neben Studium und arbeit noch ein Kleinkind zu versorgen.....

Aber nichts desto trotz fehlt es dir an wesentlichen Grundlagen.

Also schön, dann doch mit Induktion, ich würde dann aber als Voraussetzung - auch wenn es äquivalent ist - nehmen

Meines erachtens ist Induktion auch die schnellere Möglichkeit.

Induktionsanfang für n=0:



das ist schon mal richtig.

Nun zum Induktionsschluss, dieses ist auch wieder ein Einzeiler:



Nun lass darauf mal die Induktionsvoraussetzuzng los.....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Ich studiere nicht weiter, sondern habe erst zum WS damit begonnen, um meiner Maus später ein besseres Leben bieten zu können . Mit Kind studieren heißt, dass man nur abends und nachts effektiv was machen kann. Folglich ist die Zeit extrem knapp. Anders geht es aber nicht, denn nach der Elternzeit, muss ich Vollzeit arbeiten um mich und die Kleine durchzubringen. An Grundlagen fehlt es hauptsächlich, weil ich zu den wenigen Studenten gehöre, die ohne Abitur und nur wegen besonders guter Leistung in ihrem Beruf die Hochschulzugangsberechtigung bekommen haben. Ich studiere also gar nicht Mathe. Das gehört für mich blöderweise im 1. Semester dazu :-(

Folglich heißt es beißen:






Ich danke Dir übrigens sehr für Deine bewunderswerte Geduld !
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein:
Aber wir haben doch die Voraussetzung, dass ist, also ist und damit auch

Edit: Muss jetzt erst mal los....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

also muss da stehen ?

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist auch ziemlich daneben.

Also:



Und folgt wie oben unter der Induktionsvoraussetzung :




So, nun ist es erst mal vollbracht.

Also zum Grenzwert.
Wir bezeichnen den Grenzwert mal mit a und nutzen aus, dass gilt .
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist schon das nächste Problem. Bis jetzt musste ich nur Grenzwerte von Folgen bestimmen, die diese Form hatten. Hier habe ich aber kein direktes n, was nu? EineIdee ist zu sagen, dass bei 2 eine Schranke liegt und der Grenzwert somit bei max. 2 liegen kann.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu habe ich doch bereits etwas geschrieben.

2 ist eine obere Schranke, man könnte auch zeigen, dass ist, der Grenzwert ist es also nicht.

Nun setze doch einfach mal den Grenzwert a ein, wie gesagt, wenn den Grenzwert a hat, dann hat auch den Grenzwert a....
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »



lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, soweit schon mal in Ordnung, einen kleinen Fehler, in der Wurzel muss noch der Grenzwert stehen.

Nun schreiben wir das ganze mal ein wenig anders auf:



Und wir wissen, dass ist.

Was kann man nun wohl tun?
Dringend Auf diesen Beitrag antworten »



also

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ist die richtige Richtung.

Nun kann man rechts (oder links) auch noch a einsetzen und erhält die Glecihung



Diese kann man nun nach a auflösen.
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