Bijektion von I nach R

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Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion von I nach R
Hallo! Ich bräuchte Hilfe, bzw. Denkanstoß für folgende Aufgabe unseres Übungsblattes:

Sei ein beliebiges Intervall. Finden sie eine Bijektion

Das wars auch schon. Mein Problem ist jetzt, dass ich überhaupt nicht weiß, wo ich anfangen soll. Aus meiner Fachschaft wurde mir empfohlen, mir mal den Satz von Schröder-Bernstein anzuschauen, aber wenn ich wirklich den ganzen Satz beweisen muss, da er in der Vorlesung noch nicht aufgetaucht ist, denke ich irgendwie nicht, dass das der einzige Ansatz sein kann, auch wenn die Aufgabe wohl ziemlich fies für Erstsemester sein soll.

Also, lange Rede, kurzer Sinn: Kann jemand Hilfestellung geben? smile

Verdruss
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektion von I nach R
Naja, jetzt nur als spontane Idee: Man könnte aus dem Intervall durch eine bijektive Vortransformation das Intervall draus machen und dann drauf anwenden...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

sollte es für auch tun.
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank schonmal für eure schnellen Antworten smile

Wie aber komme ich selbst auf solche Funktionen? Gerade, weil ja auch noch die Fälle und fehlen. Ist das wirklich nur rumprobieren oder gibt es da klarere Ansätze?

MfG
Verdruss
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann könnte vielleicht folgende bijektive Funktion f von [-1,1] auf (-1,1) dein Problem lösen:



Raffiniert, was? Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic

Raffiniert, was? Big Laugh


allerdings smile
 
 
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich weiß zwar immer noch nicht, wie du darauf jetzt gekommen bist, aber Gehe ich richtig (ich habs gerade nur für ein paar Intervalle ausprobiert) dass dann



allgemein auf abbildet?

Danke für eure Hilfe smile

EDIT: Ahh, stimmt ja gar nicht. Zumindest dann nicht, wenn ist... Hmm... Aber kann man das irgendwie verallgemeinern? Ich muss nochmal drüber nachdenken Big Laugh
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast den "Trick" dahinter ganz offensichtlich nicht verstanden... unglücklich

Der funktioniert so nicht für ein allgemeines Intervall [a,b], sondern du musst dieses vorher durch eine bijektive lineare Abbildung in [-1,1] überführen...
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Naarrgh, ich hatte halt gehofft, dass man diese "Kette" von 1, 1/2, 1/4 irgendwie auch auf allgemeine a,b ummodeln kann...

Aber wie kann ich denn so eine Funktion finden? Ich fühl mich so blöd, weil das anscheinend gar keine große Sache ist, aber mir fehlen halt überhaupt die Ansätze um in die Nähe einer solchen Funktion zu kommen Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

eine bijektive Abbildung von [a,b] auf [-1,1] dürfte doch wohl einfach zu finden sein. Wie wär's mit ?
Gasto934 Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dich nicht verrückt. Die meisten Leute kommen einfach drauf, weil sie es schon 100 mal gesehen haben und schon 200 mal durchdacht haben. Ich wäre jedenfalls auch nicht drauf gekommen am Anfang und hab trotzdem mein Mathematikstudium beendet. (mit Abschluss :P)
Läuft schon.
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, klar, die würde ich nehmen Big Laugh

Aber wie läuft da dein Gedankengang ab? Ich denke mal, du musst ja auch mit irgendetwas anfangen um so eine Bijektion zu finden. Oder ist das tatsächlich einfach nur Übung? smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die lineare Funktion von RavenOnJ meinst, dann hast du einfach zwei Punkte, nämlich (a,-1) und (b,1), durch welche du eine Gerade durchlegen musst...

Edit: Interessanter scheint mir zu sein, wie du die zwei bijektiven Funktionen von [-1,1) auf (-1,1) bzw. von (-1,1] auf (-1,1) anlegen würdest... Augenzwinkern
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Aahh , eine Gerade! Ich verstehe! Das leuchtet natürlich ein :P
Wir haben halt bisher noch gar nichts mit Intervall Transformation gemacht oder so und haben auch erst letzte Vorlesung überhaupt den Begriff lineare Abbildung eingeführt XD

Hmm... Ich hoffe, ich stoße jetzt nicht wieder ins Leere, aber kann ich für diese Transformationen nicht einfach deine Funktion nehmen, und jeweils die beiden Fälle einzeln betrachten? Also einmal mit +2 und einmal mit -2? In meinem Kopf klingt das logisch Big Laugh

Vielen Dank nochmal für eure Geduld und Hilfe smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gasto934
Die meisten Leute kommen einfach drauf, weil sie es schon 100 mal gesehen haben und schon 200 mal durchdacht haben.


Also, ich habe das Problem bis heute höchstens zum 3. mal durchdacht - schätz ich mals so. Augenzwinkern Auf die trickreiche Idee von mystic bin ich leider auch nicht gekommen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Verdruss
Hmm... Ich hoffe, ich stoße jetzt nicht wieder ins Leere, aber kann ich für diese Transformationen nicht einfach deine Funktion nehmen, und jeweils die beiden Fälle einzeln betrachten? Also einmal mit +2 und einmal mit -2? In meinem Kopf klingt das logisch Big Laugh

Ja, wenn du meinst, dass man in meiner Definition einfach durch bzw. ersetzen sollte, um eine Bijektion von [-1,1) bzw. (-1,1] auf (-1,1) zu bekommen, dann liegst du damit richtig... Freude

Und ja, ich habe diesen Trick schon mal in ähnlicher Form, aber viel komplizierter gesehen, aber ich glaube eigentlich auch, dass ich ihn auch nach einer "Pause" von sagen wir 10 Jahren noch jederzeit parat hätte... Augenzwinkern
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Ha ha, endlich mal etwas richtiges gesagt Big Laugh

Jetzt fehlen mir also nur noch die Transformationen (a,b] -> (-1,1] und [a,b) -> [-1,1) ... Das wird ja einfach mit Geraden nicht funktionieren, richtig? Hmm... komm ich da vielleicht mit der ersten von RavenOnJ genannten weiter? Ich muss mir glaub ich die mal genauer anschauen, um zu verstehen, was diese Funktion eigentlich genau tut Big Laugh


Vielen Dank euch allen! Hoffentlich komm ich auch irgendwann an den Punkt, dass ich sowas aus dem Ärmel schütteln kann XD
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Verdruss
Jetzt fehlen mir also nur noch die Transformationen (a,b] -> (-1,1] und [a,b) -> [-1,1) ... Das wird ja einfach mit Geraden nicht funktionieren, richtig?

Versteh ich nicht, warum du da Bedenken hast... Tatsächlich funktioniert es ja sogar mit der gleichen linearen Funktion wie oben von RavenOnJ angegeben...
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, na, klar, ich Idiot Big Laugh

Meine falsche Denkweise war, dass ich ja gar keine Punkte dann angeben kann. Aber brauch ich ja gar nicht, ich kann ja die gleiche Gerade verwenden, das Zielintervall passt sich ja quasi dem Urintervall an XD

Wahrscheinlich rede ich hier nur noch Nonsens, es ist auch eigentlich viel zu spät, aber ich muss euch sehr für eure Hilfe danken! Ihr habt wirklich sehr geholfen smile Ich geb dann mal was aus Big Laugh

Verdruss
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Prost
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Verdruss
Meine falsche Denkweise war, dass ich ja gar keine Punkte dann angeben kann. Aber brauch ich ja gar nicht, ich kann ja die gleiche Gerade verwenden, das Zielintervall passt sich ja quasi dem Urintervall an XD

So ist es... Wink
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