Volumen eines Prismas

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14.11.2012, 15:02	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Prismas Hallo zusammen, ich weiß nicht so richtig, wie ich diese Aufgabe möglichst schnell lösen kann: Die drei Punkte $\begin{eqnarray} A=(1,1,2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B=(-1,1,-2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C=(2,\alpha,24) \end{eqnarray}$ spannen im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ein Dreieck auf $\begin{eqnarray} (\alpha\in\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ . Verschiebt man dieses Dreieck durch den Verkotor $\begin{eqnarray} \vec{v}=\begin{pmatrix} 1-\alpha^2 \\ 0 \\ \alpha-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , so überstreicht es ein Prisma im Raum. (i) Wie groß ist das Volumen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ dieses Prismas? (ii) Bestimmen sie $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} V = 0 \end{eqnarray}$ wird. Was bedeutet dies geometisch für die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{AC} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ ? Rechnung: (i) $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{2}\|(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{v}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{2}\|\begin{pmatrix}4(\alpha-1) \\ 40 \\ -2(\alpha-1) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1-\alpha^2 \\ 0 \\ \alpha-1 \end{pmatrix}\|=\|2(\alpha-1)(1-\alpha^2)-(\alpha-1)^2\| \end{eqnarray}$ Kann/Sollte ich das jetzt noch weiter vereinfachen (evt. faktorisieren für (ii))? (ii) $\begin{eqnarray} V=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2(\alpha-1)(1-\alpha^2)-(\alpha-1)^2=-2\alpha^3+\alpha^2+4\alpha-3 \end{eqnarray}$ Da habe ich jetzt mit Polynomdivision und pq-Formel $\begin{eqnarray} \alpha=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha=-\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ rausbekommen, das scheint auch richtig zu sein, jedoch braucht das in der Klausur viel zu viel Zeit. Ich denke faktorisieren wäre da die bessere Lösung, aber wie? Bekomme es einfach nicht hin...
14.11.2012, 21:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen eines Prisma Dass du da ausklammern kannst/sollst, das springt doch direkt ins Auge! $\begin{eqnarray} V= ... =\|2(\alpha-1)(1-\alpha^2)-(\alpha-1)^2\|=\|(\alpha - 1)^2 \cdot (-2 \alpha - 3)\| \end{eqnarray}$ EDIT: Betragszeichen eingefügt. Dann ist auch (ii) keine Hexerei mehr; wie du siehst, kommen beim Nullsetzen beider Faktoren getrennt auch deine 2 Lösungen heraus. mY+
14.11.2012, 22:35	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh, WolframAlpha hat mir das auch angezeigt, aber ins Auge springen tut mir das leider nicht Ich werd mir das morgen früh nochmal in Ruhe anschauen, vllt bin ich dann nicht mehr so "Ausklammerblind" //EDIT: Aber die Betragsstriche bleiben noch stehen, oder?
14.11.2012, 22:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zumindest den einen Faktor kannst du ja gleich sehen. Dass dann noch einer auszuklammern geht, erkennt man, wenn man vorne mittels binomischer Formel faktorisiert. Dann vertauscht man bei der einen Differenz Subtrahend und Minuend und muss dabei natürlich dann ein Minus vor die Klammer schreiben. Oder beim Quadrat, da ist es dann egal, denn (-a)² = (+a)² ___________ EDIT: Ja, die Betragsstriche müssen stehen bleiben, denn das Volumen soll ja immer positiv sein. mY+
15.11.2012, 15:44	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe das jetzt noch ein paar mal versucht, aber ich bekomms einfach nicht hin... $\begin{eqnarray} V= ... =\|2(\alpha-1)(1-\alpha^2)-(\alpha-1)^2\|=\|(\alpha-1)(2(1-\alpha^2)-(\alpha-1))\|=\|(\alpha-1)(2(-\alpha^2+1)-(\alpha-1))\| \end{eqnarray}$ Weiter komme ich nicht, falls das soweit überhaupt richtig ist.
17.11.2012, 14:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit so gut. Nun kannst du aus der rechten Klammer nochmals $\begin{eqnarray} \alpha - 1 \end{eqnarray}$ ausklammern, indem du schreibst: $\begin{eqnarray} 1 - \alpha^2 = - (\alpha^2 - 1) \end{eqnarray}$ und in der Klammer noch einen binomischen Satz verwendest ... mY+
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18.11.2012, 01:22	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs hinbekommen, vielen Dank!
19.11.2012, 00:37	streamer	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe V=\|(x-1)(x+1)(2x-3)\| und damit x1 = 1 x2 = -2 und x3 = 3/2 für V = 0 raus (mit x = alpha, ich kann kein latex) Hab ich mich da verechnet, oder hast du das letzten Endes auch rausbekommen?
19.11.2012, 00:40	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du dich verrechnet, überprüfe vllt. mal den Vekor v. Du hast ein ähnliches ergebnis wie in der Klausur SS2011 da ist aber ein Vorzeichen anders wie in unserer Aufgabe. //Edit: Falls du es mit Faktorisierung machst sollte in jeder Klammer 0 rauskommen, dass sind dann deine jeweiligen alpha's. Also bei deiner fakoriesierung: 1,-1,(3/2)

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