faktorieller Ring

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MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »
faktorieller Ring
Meine Frage:
Hallo. Mir fällt keine Idee ein.

In der Aufgabenstellung ist ein faktorieller Ring R gegeben, ein , das die 1 als größten Koeffizenten hat und sein Quotientenkörper Q(R). Außerdem soll sein für ein .

Behauptung: Dann ist

Meine Ideen:
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand mit einem kleinen Tipp weiterhelfen könnte. Ich weiß natürlich, was all diese Begriffe bedeuten, aber trotzdem fällt mir kein zielbringender Ansatz ein.

Danke im Voraus
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib dir das Polynom mal mit seinen Koeffizienten hin und setze ein. Dabei kannst du annehmen, dass und teilerfremd sind.

Multipliziere dann mit dem Hauptnenner und schaue genau hin.

Was du hier übrigens in der Sprache der kommutativen Algebra zeigen sollst: Jeder faktorielle Ring ist normal, d.h. er ist sein ganzer Abschluss im Quotientenkörper.
MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar danke, dann gehe ich mal ans Werk!

Bis nachher! Falls du nachher auch noch da bist und ich noch eine Frage habe.
MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich , wobei gilt wobei


oder multipliziert mit dem Hauptnenner :



Ich wünschte mir würde ein Licht aufgehen. Ich fürchte ich brauche einen weiteren Tipp, auch wenn ich es gewohnt bin meine Übungszettel alleine zu machen.
Du hast dir bei dem Zusatz, dass ggT(q,r)=1 doch bestimmt etwas gedacht. Nur was? Ich komme nicht darauf...
MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte die in Primfaktoren zerlegen, falls sie nicht schon prim sind. Aber auch das scheint mir nicht weiterzuhelfen. Andereseits hätte man R ja auch ein Integritätsring sein lassen können. Deshalb muss es wohl irgendwie auf Primfaktorzerlegung hinauslaufen denke ich.

Nur wo?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf den Hauptnenner ? verwirrt

Du solltest lieber von vorne anfangen und diesmal im letzten Schritt mit multiplizieren.
 
 
MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »

Missverständnis, danke. Also bzw.

Ich sehe, dass hinter den Koeffizienten jetzt jeweils n Primelemente stehen. Aber dann...? Ist es etwa so einfach, dass ich es nicht sehe? Ich komm nicht weiter.
MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erneut weiterhelfen, tmo?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte, dass ist !

Du musst jetzt nur noch einen Widerspruch zur Teilerfremdheit von und finden.
MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »

Danke tmo!

Das heißt also "höchster Koeffizient" ist das gleiche wie "Leitkoeffizient"? Toll, dass der Prof uns das auch gesagt hat... Er redet in der Vorlesung immer nur von "Leitkoeffizient"...

Ich hoffe ich bin hiermit auf der richtigen Spur:



Verdammt ich bekomme keine Widerspruch hin!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Aber da steht er doch schon, der Widerspruch.

Links kommen nur Primteiler von q vor. Rechts kommt ein Primteiler von r vor...
MarcusB Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dazu habe ich noch eine Frage: warum stehen auf der linken Seite nur Primteiler von q? Da steht ja . Aber wir wissen doch gar nicht, dass q ein primelement ist, nur dass , oder übersehe ich etwas?

Und was ist der Primteiler von r auf der rechten Seite? Meinst du damit die Klammer oder r selbst? verwirrt

Das klingt jetzt so, als hätte ich von nichts eine Ahnung, aber es liegt wohl eher daran, dass dieses Thema überhaupt nicht meine Stärke ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte das eigentlich etwas anschaulich erklären, aber irgendwie scheint das nicht zu klappen.

Dann gehen wir nun formaler vor:


Aus der Gleichung gewinnen wir die Teilbarkeitsbeziehung (Das ist Definition).

Nun gibt es 2 Fälle:

1. ist eine Einheit. Dann ist nichts zu zeigen.

2. ist keine Einheit. Dann besitzt einen Primteiler, sagen wir .

Zeige nun, dass gilt und folgere daraus einen Widerspruch.
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