Volumenberechnung von Rotationskörpern bei Rotation um die Y-Achse (Y Grenzen)

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15.11.2012, 17:26	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung von Rotationskörpern bei Rotation um die Y-Achse (Y Grenzen) Meine Frage: Ich soll das Volumen eines Rotationskörpers berechnen (um Y-Achse), allerdings komme ich hier garnicht weiter, da ich Y-Grenzen statt X-Grenzen gegeben habe und das bringt mich sehr durcheinander. Gegeben ist die Funktion F(x)= X^2+1 und die Y-Grenzen, sprich die Grenzen auf der Y-Achse NICHT der X-Achse [ 2; 5 ]. Ausserdem kenne ich die Formel V= pi * (Integral a/b) g^2(y)dy. Ich verstehe nicht was ich für g^2 einsetzen muss, was die dy heissen und wie ich aus den Y-Grenzen, X-Grenzen mache, falls es überhaupt nötig ist. Ich würde mich über jede Hilfe freuen. Bitte einfach und Schritt für Schritt eklären. Bin ganz neu im Thema und muss vieles Nachholen... Meine Ideen: Also ich habe die Umkehrfunktion gebildet: Wurzel x-1 =y dann habe ich die x-1 für y in der Gleichung eingesetzt, allerdings habe ich da noch ein g^2 und das X, da ich aber Y-Grenzen gegeben habe komme ich hier nicht weiter... Bitte um Hilfe !
15.11.2012, 20:30	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenberechnung von Rotationskörpern bei Rotation um die Y-Achse (Y Grenzen) Jop, wenn du den Körper um die y-Achse rotieren lassen willst, musst du $\begin{eqnarray} y=x^2+1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auflösen. und mit $\begin{eqnarray} \int \pi\cdot r^2dy \end{eqnarray}$ integrieren.
15.11.2012, 20:43	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht um ehrlich zu sein... Ich bin echt eine Niete, tut mir Leid für die Fragen. Ich habe ja wenn ich nach y auflöse (Umkehrfunktion) Wurzel x-1 =y und dann ? Könnte mal jemand es vorführen anhand eines anderen Beispiels oder so ?
15.11.2012, 20:46	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch bereits nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aufgelöst. $\begin{eqnarray} x=\pm\sqrt{y-1} \end{eqnarray}$ Jetzt musst du es doch nur noch in $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ einsetzen.
15.11.2012, 20:53	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \pi\cdot y-1² dy \end{eqnarray}$ Ich setze also für r mein Y ein, sprich meine Werte 2 und 5 ein, sprich $\begin{eqnarray} \pi\cdot 5-1² dy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi\cdot 2-1² dy \end{eqnarray}$ oder wie soll ich das verstehen ? Jetzt ehrlich ich verzweifel bisschen daran könntest du mir es vielleicht vorrechnen oder ein andere Beispiel machen, dass ähnlich ist wie dieses ?
15.11.2012, 21:03	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, vorrechnen werde ich es nicht aber wir können es gemeinsam durchgehen. $\begin{eqnarray} \int_2^5\pi (y-1)dy \end{eqnarray}$ Das Integral gilt nun zu lösen.
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15.11.2012, 21:14	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe . Hmm... Also ich habe jetzt $\begin{eqnarray} \int_2^5\pi (y-1)dy \end{eqnarray}$ . Ich kenne es ja jetzt auf X bezogen, dass man dem Exponenten erhöt. Es müsste also $\begin{eqnarray} \int_2^5\pi (y^2-1)dy \end{eqnarray}$ heissen dann setze ich ja noch die Grenzen ein, sprich $\begin{eqnarray} \pi (2^2-1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi (5^2-1) \end{eqnarray}$ dann habe ich $\begin{eqnarray} V_1 = 3\pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_2 = 24\pi \end{eqnarray}$ oder ? Was mach ich nun ?
15.11.2012, 21:17	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, so geht das nicht. Am besten multiplizierst du erstmal aus und dann integrierst du.
15.11.2012, 21:22	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz, was ich da ausmultiplizieren soll... Also wie gesagt ich habe $\begin{eqnarray} \int_2^5\pi (y-1)dy \end{eqnarray}$ und die Y-Grenzen [ 2 ; 5 ]. Ich kann ja für Y schonmal die 2 und 5 einsetzen, dann sollte das Integral zeichen verschwinden, anschließend muss ich doch den Exponenten erhöhen und dann das, was den Exponenten bekommt, sprich Y in Bruch nehmen oder... ? Jetzt bin ich irgend wie ganz verwirrt...
15.11.2012, 21:26	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst $\begin{eqnarray} \pi (y-1) \end{eqnarray}$ ausmultiplizieren und dann integrieren.
15.11.2012, 21:36	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah also $\begin{eqnarray} \pi y - \pi \end{eqnarray}$ , dann kann ich ja meinen Spass weiter machen. $\begin{eqnarray} \int_2^5\pi y - \pi dy \end{eqnarray}$ lautet nun die Formel. $\begin{eqnarray} \pi 2²:2 - \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi 5²:2 - \pi \end{eqnarray}$ soweit richtig ?
15.11.2012, 21:47	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich weiß ehrlich gesagt auch garnicht was du da eigentlich machst. Wenn du eine Potenzfunktion integrieren willst benutzt man folgende Formel $\begin{eqnarray} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$
15.11.2012, 21:52	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Um ehrlich zu sein verstehe ich garnichts...... Bei Rotation um die X-Achse war das so schön einfach und jetzt verstehe ich garnichts mehr :/... Ich hatte da aber auch eine andere Formel $\begin{eqnarray} V=\pi\int_a^b g^2(y) dy \end{eqnarray}$ , als du erwähnt hast ...
15.11.2012, 22:00	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch das selbe, du sollst nur mal richtig integrieren. Wenn das nicht klappt, solltest du dir das nochmal anschauen. Sonst geht es hier nicht weiter.
15.11.2012, 22:26	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich versuchs nochmal... :/ Also ich habe jetzt ausmultipliziert und erhalte $\begin{eqnarray} \int_2^5\pi y - \pi dy \end{eqnarray}$ . Nun kommt das Integrieren. Z.b. $\begin{eqnarray} f(x)=5x \end{eqnarray}$ ich integriere es dann kommt ja $\begin{eqnarray} F(x)=5\frac{x²}{2}+c \end{eqnarray}$ raus, hier verstehe ich es noch. $\begin{eqnarray} \pi y- \pi \end{eqnarray}$ und integriere es... dann müsste $\begin{eqnarray} \pi\frac{y²}{2} - \pi y \end{eqnarray}$ oder ? Wenn nicht, dann geb ich es echt auf...
15.11.2012, 22:27	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt ist die Stammfunktion korrekt. Kommst du nun alleine zurecht bei der Einsetzung der Zahlen?
15.11.2012, 22:37	L1K34ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh - ja nur noch ne letzte Frage wenn ich dann V1 und V2 habe dann addiere ich die oder ? Boah Danke echt ich bin fast verzfeifelt .
15.11.2012, 22:39	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du denn mit V1 und V2? Du musst doch nur noch das Integral berechnen.
15.11.2012, 22:56	L1K4ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ja jetzt V= Integral [2;5] piy^2/2-piy ich muss ja 2 und 5 einsetzen... Da liegt mein letztes Problem ich dachte, dass ich erstmal 2 für y einsetze und dann 5 für y und die ergebnisse am ende addiere, sprich die ergebnisse für das einsgesetzte y=2 und y=5. Oder muss ich da etwa für das erste Y^2 2 und für das zweite y 5 einsetzen ? Nur das einstzen fehlt mir da noch bisschen, sonst danke ich dir aufjednfall für die tolle Hilfe.
15.11.2012, 22:57	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du rechnest wie gewohnt die obere Minus die untere Grenze.
15.11.2012, 23:02	L1K4ST4R	Auf diesen Beitrag antworten »
genau das meine ich v1-v2 danke für die super tolle hilfe
15.11.2012, 23:05	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ursache. CT

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