nicht-trivialer Untervektorraum

16.11.2012, 11:19	lumia	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht-trivialer Untervektorraum Meine Frage: Ich habe hier einen unendlich-dimensionalen normierten Raum $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und es seien $\begin{eqnarray} \phi_i\in X',i=1,\hdots,m \end{eqnarray}$ . Zeigen soll ich, dass $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1}^{m}\mbox{Ker}(\phi_i) \end{eqnarray}$ nicht-trivialer Unterraum ist, also eine Dimension hat, die größer 0 ist. Weiter ist aus dieser Aussage dann zu folgern, dass jede nicht-leere, schwach offene Menge unbeschränkt bezüglich der Norm ist. Meine Ideen: Zu dem ersten Teil der Aufgabe habe ich (leider) gar keine Ideen. Ich habe mir nur ein wenig zu der zu zeigenden Folgerung überlegt, wobei ich mir nicht so ganz sicher bin, was es bedeutet, dass eine (nicht-leere, schwach offene) Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ bezüglich der Norm unbeschränkt ist. Ich nehme aber an, dass dies bedeutet: $\begin{eqnarray} \forall C>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall m\in M \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lVert m\rVert>C \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine nicht-leere, schwach offene Menge, die bezüglich der Norm beschränkt ist, d.h. $\begin{eqnarray} \exists~C>0:\lVert m\rVert\leq C~\forall~m\in M \end{eqnarray}$ . Dann lässt sich diese Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ doch schreiben als eine Vereinigung von $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{k=1}^{m}\phi_k^{-1}(O_k) \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} O_k \end{eqnarray}$ offen in der Normtopologie auf dem Skalarenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ seien. Das heißt für beliebiges $\begin{eqnarray} m\in M \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} m\in\phi_k^{-1}(O_k),k=1,\hdots,m \end{eqnarray}$ . Das bedeutet $\begin{eqnarray} \phi_k(m)\in O_k,k=1,\hdots,m \end{eqnarray}$ . Kann man hieran jetzt irgendwie anknüpfen? Das ist alles, was mir bis jetzt zu der zu zeigenden Folgerung einfallen wollte. Was mir noch bekannt ist, ist, dass aufgrund der Stetigkeit der $\begin{eqnarray} \phi_k \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} D>0 \end{eqnarray}$ existiert, sodass gilt: $\begin{eqnarray} \lvert\phi_k(m)\rvert\leq D\lVert m\rVert \end{eqnarray}$ und da nach Annahme $\begin{eqnarray} \lVert m\rVert\leq C \end{eqnarray}$ gilt also $\begin{eqnarray} \lVert\phi_k(m)\rvert\leq CD \end{eqnarray}$ . Ich würde mich über Hilfe sehr freuen. Viele Grüße lumia
16.11.2012, 20:55	lumia	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, also ich hab den ersten Teil der Aufgabe schon hinbekommen. Nur die Folgerung krieg ich partout nicht hin. Kann mir wohl jemand helfen? Viele Grüße von lumia
17.11.2012, 14:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, mit diesem Ansatz kommt man - meines Erachtens - nicht zum Ziel, zumindest sehe ich nicht, wie. Du hast doch jetzt gezeigt, dass $\begin{eqnarray} S:=\bigcap\limits_{i=1}^{m}\operatorname{ker}(\varphi_i)\neq\left\{0\right\} \end{eqnarray}$ . Damit ist S unbeschränkt bzgl. der Norm, denn jeder Untervektorraum ungleich dem trivialen Untervektorraum $\begin{eqnarray} \left\{0\right\} \end{eqnarray}$ ist unbeschränkt bzgl. der Norm. Weiter weiß ich jetzt im Moment auch noch nicht, aber ich denke, dass man dies jetzt verwenden muss um zu zeigen, dass M unbeschränkt ist.

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