Zentrum von Gruppe G

16.11.2012, 15:55	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrum von Gruppe G Hallo, eine letzte Frage noch für diese Woche! Ich habe eine Gruppe $\begin{eqnarray} (G, n, \cdot) \end{eqnarray}$ . Dann heißt ein $\begin{eqnarray} z \in G \end{eqnarray}$ zentral, wenn $\begin{eqnarray} \forall g \in G: z \cdot g = g \cdot z \end{eqnarray}$ . Nun soll man zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} Z(G) = \{z \in G: \end{eqnarray}$ z ist zentral $\begin{eqnarray} \} \end{eqnarray}$ eine abelsche Untergruppe von G ist. Erst einmal habe ich mir überlegt, dass man dazu die beiden Untergruppenkriterien benutzen kann: Ein $\begin{eqnarray} U \subseteq G \end{eqnarray}$ ist eine Untergruppe von G, genau dann wenn 1. $\begin{eqnarray} U \neq \emptyset \end{eqnarray}$ und 2. $\begin{eqnarray} \forall a, b \in U: a \cdot \overline{b} \in U \end{eqnarray}$ Naja, 1. ist nicht schwer, denn für G gilt: Da G eine Gruppe ist, ist $\begin{eqnarray} n \in G \end{eqnarray}$ . Da n wie folgt definiert ist: $\begin{eqnarray} \forall g \in G: n \cdot g = g = g \cdot n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Und damit ist $\begin{eqnarray} Z(G) \neq \emptyset \end{eqnarray}$ . Die Kommutativität ist auch nicht allzu schwer: Seien $\begin{eqnarray} a, b \in Z(G) \end{eqnarray}$ , dann sind auch $\begin{eqnarray} a, b \in G \end{eqnarray}$ . Da für a gilt: $\begin{eqnarray} \forall g \in G: a \cdot g = g \cdot a \end{eqnarray}$ und b eben dieses g sein kann, gilt auch für beliebige $\begin{eqnarray} a, b \in Z(G): a \cdot b = b \cdot a \end{eqnarray}$ . Schwer tue ich mich im Moment mit dem zweiten Untergruppenkriterium. Ich habe mir folgendes schon überlegt: Zu zeigen ist ja: $\begin{eqnarray} \forall a, b \in Z(G): a \cdot \overline{b} \in Z(G) \Leftrightarrow \forall g \in G: (a \cdot \overline{b}) \cdot g = g \cdot (a \cdot \overline{b}) \end{eqnarray}$ . Angefangen habe ich mit: Seien $\begin{eqnarray} a, b \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray} a, b \in G \end{eqnarray}$ . Weiter gilt $\begin{eqnarray} \forall g \in G: a \cdot g = g \cdot a \wedge b \cdot g = g \cdot b \end{eqnarray}$ . Da G eine Gruppe ist, ist auch $\begin{eqnarray} \overline{a}, \overline{b} \in G \end{eqnarray}$ . Nur jetzt fehlt mir die Idee, wie ich die Verknüpfung zwischen dem, was ich habe und dem was ich zeigen möchte, herstellen kann... Könnt ihr mir helfen? Grüße!
16.11.2012, 16:11	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach es dir nicht gleich so schwer und zeige 2. in zwei Schritten: (a) $\begin{eqnarray} Z(G) \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen bzgl. der Verknuepfung. (b) $\begin{eqnarray} Z(G) \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen bzgl. des Bilden von Inversen. Und dann rechne einfach mal los: (a) $\begin{eqnarray} (ab)g=a(bg)=... \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \bar a g = \bar a g n= ... \end{eqnarray}$
16.11.2012, 17:25	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hab ich es : Zuerst möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \forall a, b \in Z(G): (a \cdot b) \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Seien also $\begin{eqnarray} a, b \in Z(G) \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} a, b \in G \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \forall g \in G: (a \cdot b) \cdot g = a \cdot (b \cdot g) = (b \cdot g) \cdot a = (g \cdot b) \cdot a = g \cdot (b \cdot a) = g \cdot (a \cdot b) \end{eqnarray}$ . Damit ist also $\begin{eqnarray} (a \cdot b) \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Anschließend möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \forall a \in Z(G): \overline{a} \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Sei dazu $\begin{eqnarray} a \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Dann ist auch wieder $\begin{eqnarray} a \in G \end{eqnarray}$ . Da G eine Gruppe ist, ist also auch $\begin{eqnarray} \overline{a} \in G \end{eqnarray}$ . Damit ist dann $\begin{eqnarray} \forall g \in G: \overline{a} \cdot g = (\overline{a} \cdot g) \cdot n = (\overline{a} \cdot g) \cdot (a \cdot \overline{a}) = \overline{a} \cdot (g \cdot a) \cdot \overline{a} = \overline{a} \cdot (a \cdot g) \cdot \overline{a} = (\overline{a} \cdot a) \cdot g \cdot \overline{a} = n \cdot g \cdot \overline{a} = g \cdot \overline{a} \end{eqnarray}$ Damit ist dann also ebenfalls $\begin{eqnarray} \overline{a} \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Somit wurde die Abgeschlossenheit der Verknüpfung in $\begin{eqnarray} Z(G) \end{eqnarray}$ , als auch das Bilden des Inversen in $\begin{eqnarray} Z(G) \end{eqnarray}$ gezeigt. Damit gilt dann $\begin{eqnarray} \forall a, b \in Z(G): (a \cdot \overline{b}) \in Z(G) \end{eqnarray}$ . Ist das so richtig?
16.11.2012, 17:47	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Der zweite Teil sieht gut aus, der erste Teil ist so nicht akzeptabel. Du benutzt im letzten Schritt die zu zeigende Behauptung. Propiere mal hier was Neues: $\begin{eqnarray} (a \cdot b) \cdot g = a \cdot (b \cdot g) = (b \cdot g) \cdot a = ... \end{eqnarray}$ .
16.11.2012, 18:14	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm... Vielleicht folgendes: $\begin{eqnarray} (a \cdot b) \cdot g = a \cdot (b \cdot g) = (b \cdot g) \cdot a = b \cdot (g \cdot a) = (g \cdot a) \cdot b = g \cdot (a \cdot b) \end{eqnarray}$ Aber warum habe ich die zu zeigende Aussage verwendet? Ich habe doch $\begin{eqnarray} a, b \in Z(G) \end{eqnarray}$ , das heißt $\begin{eqnarray} \forall g \in G: b \cdot g = g \cdot b \end{eqnarray}$ . Da ich ja $\begin{eqnarray} g = a \end{eqnarray}$ wählen kann, weil $\begin{eqnarray} a \in G \end{eqnarray}$ , folgt doch daraus $\begin{eqnarray} b \cdot a = a \cdot b \end{eqnarray}$ .
16.11.2012, 21:01	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hast voellig Recht. Da habe ich gepennt.
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