Gruppen und Untergruppen

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math20 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen und Untergruppen
Meine Frage:
Es geht um Gruppen und Untergruppen, wie man es oben im Titel lesen kann.
Die Frage habe ich als Bild eingefügt.

Meine Ideen:
Was ich weiß ist, es gibt das sogenannte Untergruppenkriterium.

1. Die Untergruppe darf nicht leer sein.
2. Zu einem beliebigen Element der Untergruppe muss es auch eine Inverse geben
3. Es muss ein neutrales Element besitzen
4. Da in diesem Beispiel H unsere Untergruppe sein solle, dann muss auch gelten a,b H a*b

Ist das soweit richtig?

Für die Bedingung eins habe ich folgendes gemacht:
f°sigma = f kann man auch schreiben als:
f(sigma) = f zeigt das, dass Hf zumindest nicht leer ist.

Von hier an weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll. Ich bin auf euer Hilfe angewiesen. Es wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte?

LG math20
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe zu Gruppen und Untergruppen
Zitat:
Original von math20
Für die Bedingung eins habe ich folgendes gemacht:
f°sigma = f kann man auch schreiben als:
f(sigma) = f zeigt das, dass Hf zumindest nicht leer ist.

Hm, nein, eigentlich kann man das nicht so schreiben. Und selbst wenn, was brächte es für die Aufgabe? Um zu zeigen, dass nicht leer ist, musst Du natürlich beweisen, dass es ein Element gibt, was in liegt, also z.B. eines angeben. Danach genügt es bereits, wenn Du zeigst.
 
 
math20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe zu Gruppen und Untergruppen
Hallo zweiundvierzig,

ich habe mir folgendes dabei gedacht.

Ich habe zwei Bedingungen aufgestellt.

1)
2)

Das kann man in einer Bedingung zusammenfassen, wie du es ja schon angegeben hast.



muss assoziativ sein, da die Untergruppe aus S_n stammt. Wir wissen, S_n ist nicht leer, dann gibt es . Nach 2) ist , nach 1) ist auch . Mit Hilfe von 2) folgt, dass es in auch inverse Elemente gibt.

zweiundvierzig, ist es damit bewiesen bzw. gezeigt?


Gruß math20
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe zu Gruppen und Untergruppen
Zitat:
Original von math20
muss assoziativ sein, da die Untergruppe aus S_n stammt.

Man muss hier nicht mehr Assoziativität und Abgeschlossenheit begründen. Das Untergruppenkriterium lautet lediglich, wie und . Das impliziert schon, dass eine Gruppe ist. Schränkt man die Verknüpfung von die Verknüpfung von auf ein, dann ist sie eben auch auf assoziativ. Aber das muss man eben nicht zusätzlich begründen, also lass es einfach weg. Abgesehen davon ist Deine Formulierung auch problematisch. Eine Menge kann nicht assoziativ sein, sondern nur eine Verknüpfung auf einer Menge. Und Du kannst noch nicht eine Untergruppe nennen, weil Du ja genau das zeigen musst.

Zitat:
Original von math20
Wir wissen, S_n ist nicht leer, dann gibt es . Nach 2) ist , nach 1) ist auch . Mit Hilfe von 2) folgt, dass es in auch inverse Elemente gibt.

Deine Annahme ist falsch. Die Menge ist eine Teilmenge der rellen Zahlen und trotzdem leer. Was ist denn ein denkbar einfaches Beispiel für eine Element aus , von dem man auch gut sehen kann, dass darunter invariant bleibt?
zweiundvierzig, ist es damit bewiesen bzw. gezeigt?

Ein Beweis ist deine Argumentation leider auch strukturell nicht, weil Du das als Begründung zu benutzen schienst, was überhaupt noch gezeigt werden muss.
math20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe zu Gruppen und Untergruppen
Sei

dann gelte .

Nun der Beweis:

i)
Das neutrale Element ist bewiesen.

Jetzt muss es auch bewiesen werden, dass es für jedes auch eine gibt: Dazu wählt und

Dann ist nach Voraussetzung


Ist das so richtig? Wenn nicht könntest du bitte etwas konkreter werden.


Gruß math20
math20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe zu Gruppen und Untergruppen
Mit liegt auch . Nun wenden wir das ganze auf an. Dann sieht es folgendermaßen aus:

)^-1 = .

Ist es dadurch vollständig gezeigt, vierundvierzig?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe zu Gruppen und Untergruppen
Zitat:
Original von math20
i)
Das neutrale Element ist bewiesen.

Diesen Schluss kannst Du doch erst machen, wenn Du Abgeschlossenheit unter Inversion gezeigt hast. Außerdem muss schon bewiesen sein, damit das ganze Sinn ergibt. Auch die weiteren Beweise sind nicht wirklich schlüssig. Nochmal langsam. Wir müssen genau folgende zwei Eigenschaften beweisen:
1.
2.

Alles weitere, z.B. die Begründung, dass dann auch ein neutrales Element enthält, sind völlig redundant. Denn diese beiden Bedingungen sind eben Äquivalent zur Untergruppeneigenschaft.

Zitat:
Original von math20
Ist das so richtig? Wenn nicht könntest du bitte etwas konkreter werden.

Was ist denn die "einfachste" Permutation einer Menge mit Elementen? Das kann man ganz konkret angeben.
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