Gleichungssystem mit komplexen Zahlen

17.11.2012, 12:31

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichungssystem mit komplexen Zahlen

Meine Frage:
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} <br /> (a+bi)^{2}= c+di<br /> a^{2} - b^{2}= c<br /> 2ab = d<br /> \end{eqnarray*}$

Finde alle Paare (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ , die das Gleichungssystem lösen.

Meine Ideen:
Hm, also ich hab hin und her gerechnet, dies und das aufgelöst, aber komme einfach auf nichts brauchbares.

Also z.B.

$\begin{eqnarray*} 2ab = d \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a= \frac{d}{2b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2} - b^{2}= c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b= \sqrt{ a^{2} -c} = \sqrt{ (\frac{d}{2b})^{2} -c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+bi)^{2}= c+di \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^{2}+ 2abi - b^{2} = c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\frac{d}{2b}) ^{2}+ 2(\frac{d}{2b} )(\sqrt{ (\frac{d}{2b})^{2} -c})i - (\sqrt{ (\frac{d}{2b})^{2} -c})^{2} = c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{4b^{2}}+ \frac{2d}{2b} (\sqrt{ \frac{d^{2}}{4b^{2}} -c^{2}})i - \frac{d^{2}}{4b^{2}} -c = c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d}{b} (\sqrt{ \frac{d^{2}}{4b^{2}} -c^{2}})i = 2c+di \end{eqnarray*}$

weiter komm ich nicht und ich befürchte ich mache irgendwas komplett falsch...

17.11.2012, 12:34

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

kleine Fehlerverbesserung:

$\begin{eqnarray*} 2ab = d \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a= \frac{d}{2b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2} - b^{2}= c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b= \pm \sqrt{ a^{2} -c} =\pm \sqrt{ (\frac{d}{2b})^{2} -c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+bi)^{2}= c+di \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^{2}+ 2abi - b^{2} = c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\frac{d}{2b}) ^{2}+ 2(\frac{d}{2b} )(\pm \sqrt{ (\frac{d}{2b})^{2} -c})i - (\pm \sqrt{ (\frac{d}{2b})^{2} -c})^{2} = c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{4b^{2}}+ \frac{2d}{2b} (\pm \sqrt{ \frac{d^{2}}{4b^{2}} -c^{2}})i - \frac{d^{2}}{4b^{2}} -c = c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d}{b} (\pm \sqrt{ \frac{d^{2}}{4b^{2}} -c^{2}})i = 2c+di \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 12:46

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichungssystem mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von abcpi

Finde alle Paare (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ , ...

Ich nehme an, du meinst $\begin{eqnarray*} (a,b) \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 12:57

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

habs mit quadrieren versucht:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d}{b} (\pm \sqrt{ \frac{d^{2}}{4b^{2}} -c^{2}})i = 2c+di \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{b^{2}} (\pm \frac{d^{2}}{4b^{2}}\pm c^{2})i^{2} = 4c^{2}-d^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm \frac{d^{4}}{4b^{4}}\pm \frac{d^{2}c^{2}}{4b^{2}}= 4c^{2}-d^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm \frac{d^{6}c^{2}b^{2}}{4b^{4}}= 4c^{2}-d^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm \frac{d^{6}c^{2}}{4b^{2}}= 4c^{2}-d^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm d^{6}c^{2}= 16c^{2}b^{2}-d^{2}4b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm d^{3}c= 4cb-2db \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 13:00

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

ups, ja war ein Schreibfehler... ich meine natürlich $\begin{eqnarray*} (a,b) \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 13:00

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichungssystem mit komplexen Zahlen
$\begin{eqnarray*} 2ab = d \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a= \frac{d}{2b} \end{eqnarray*}$
das hast du ja schon geschrieben. Setz doch jetzt einfach dieses a in die zweite Gleichung ein und löse die quadratische Gleichung in $\begin{align*} b^2 \end{align*}$ .

Anzeige

17.11.2012, 13:08

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich das nicht gemacht? Ich glaub ich versteh nicht ganz was du meinst...
Wahrschenilich hab ich total den Murks zusammengerechnet.. geschockt

geschockt

17.11.2012, 13:16

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das hast du nicht gemacht. Ich schrieb, quadratische Gleichung in $\begin{align*} b^2 \end{align*}$ , nicht in $\begin{align*} b \end{align*}$ !

17.11.2012, 13:22

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a^{2} - b^{2}= c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\frac{d^{2}}{4b^{2}} - b^{2}= c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{4b^{2}} - c= b^{2} \end{eqnarray*}$

So?!? Sorry, wenn ich dumm frage, aber ich bin auf dem Gebiet wirklich nicht gerade fit...

17.11.2012, 13:46

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt multipliziere die letzte Gleichung mal mit $\begin{align*} b^2 \end{align*}$ . Dann erhältst du eine quadr. Gl. in $\begin{align*} b^2 \end{align*}$ . Diese kannst du nach $\begin{align*} b^2 \end{align*}$ auflösen und die Wurzel ziehen (dabei gibt es noch eine kleine Klippe).

17.11.2012, 14:04

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, meinst du mit der letzten Gleichung die hier:

$\begin{eqnarray*} (a+bi)^{2}= c+di \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^{2}+ 2abi - b^{2} = c+di \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ multipliziert:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^{2}+ 2abi - b^{2} = c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^{2}*b^{2}+ 2abi*b^{2}- b^{2}*b^{2} = c*b^{2}+di*b^{2} - c) \end{eqnarray*}$
dann müsste ich noch ausmultiplizieren und nach $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ auflösen
hab ich das so richtig verstanden? oder meintest du mit letzter Gleichung $\begin{eqnarray*} 2ab = d<br /> \end{eqnarray*}$ bzw. statt $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}}{4b^{2}} - c \end{eqnarray*}$ einsetzten?
Dank für deine Hilfe! Freude

Freude

17.11.2012, 14:19

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

du machst es dir echt schwer verwirrt

verwirrt

Diese Gleichung meinte ich

Zitat:

Original von abcpi

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}}{4b^{2}} - b^{2}= c \end{eqnarray*}$

Multipliziere die mit $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ und löse auf.

17.11.2012, 14:30

acbpi

Auf diesen Beitrag antworten »

ach, das meinst du...
Also meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}}{4b^{2}} - b^{2}= c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}*b^{2}}{4b^{2}} - b^{2}*b^{2}= c*b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{4}= c*b^{2}+ b^{2}*b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{4}= b^{2}* (c + b^{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{(b^{2}+c)*d^{2}}{4}= b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}c+d^{2}b^{2}}{4}= b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm \sqrt{\frac{d^{2}c+d^{2}b^{2}}{4}} = b \end{eqnarray*}$

Richtig so??
Aber was nun?

17.11.2012, 15:06

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von acbpi
ach, das meinst du...
Also meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}}{4b^{2}} - b^{2}= c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}*b^{2}}{4b^{2}} - b^{2}*b^{2}= c*b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{4}= c*b^{2}+ b^{2}*b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}}{4}= b^{2}* (c + b^{2}) \end{eqnarray*}$

bis hierhin richtig, aber jetzt wird es ganz falsch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{(b^{2}+c)*d^{2}}{4}= b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d^{2}c+d^{2}b^{2}}{4}= b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \pm \sqrt{\frac{d^{2}c+d^{2}b^{2}}{4}} = b \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 16:02

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ab hier noch mal $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}}{4}= c*b^{2}+ b^{2}*b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d^{2}= 4*c*b^{2}+ 4*b^{2}*b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d^{2}= b^{2}* (4c+4b^{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{ d^{2}}{4c+4b^{2}} = b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{\frac{ d^{2}}{4c+4b^{2}}} = b \end{eqnarray*}$

Besser? ;-)

17.11.2012, 16:15

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

nur unwesentlich besser. Wie bekommst du das b unter der Wurzel weg? Das b muss in der Lösung auf einer Seite stehen, der Rest auf der anderen.

18.11.2012, 09:56

abcpi

Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun??? Erstaunt2

Erstaunt2

18.11.2012, 13:52

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

der Ball liegt bei dir im Feld

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »