Untergruppe einer symmetrischen Gruppe zeigen

17.11.2012, 17:32

Mai

Untergruppe einer symmetrischen Gruppe zeigen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe und hoffe, ihr könnt mir ein bisschen dabei helfen:

Sei $\begin{eqnarray*} n \in\ N \end{eqnarray*}$ . Sei M eine Menge und f: {1,...,n} -> M eine Abbildung. Wir definieren $\begin{eqnarray*} H_f := \left\{ \sigma \in\ S_n : f \circ \sigma = f \right\} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} H_f \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Im Prinzip weiß ich, wie man eine Untergruppe bestimmt und $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Permutationen auf {1,...n}. Ich hab dann mal versucht, das Untergruppenkriterium anzuwenden:

1.) $\begin{eqnarray*} H_f \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} id \in\ H_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f \circ id = f \end{eqnarray*}$ , wobei id das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist.

Doch nun wäre ja noch zu zeigen:
2.) $\begin{eqnarray*} \forall \sigma_1,\sigma_2 \in\ H_f: \sigma_1 \circ \sigma_2^-1 \in\ H_f \end{eqnarray*}$

Doch genau hier komme ich nicht weiter, da mein erstes Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie die Abbildung
f:{1,...,n} -> M mit $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ zusammenhängt. Was genau soll f darstellen? Und wie zeige ich den 2. Teil vom Untergruppenkriterium?

Schon mal danke im Voraus. smile

17.11.2012, 20:04

Elvis

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine bliebige aber fest gewählte Abbildung von $\begin{eqnarray*} \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Da wir die Bilder in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ beliebig wählen können, gibt es genau $\begin{eqnarray*} |M|^n \end{eqnarray*}$ solche Abbildungen. $\begin{eqnarray*} H_f \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ , sie ist von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abhängig.
z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=a \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} H_f=S_n \end{eqnarray*}$ , denn es ist egal, wie man die Urbilder permutiert, das Ergebnis nach $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
z.B. $\begin{eqnarray*} f(1)=a, f(x)=b \end{eqnarray*}$ sonst. Dann ist $\begin{eqnarray*} H_f \end{eqnarray*}$ die Teilmenge von $\begin{eqnarray*} S_n, \end{eqnarray*}$ die 1 fest lässt. Das ist eine Untergruppe isomorph zu $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: Für jedes f ist die Teilmenge H_f eine Untergruppe der S_n.

Tipp: Zeige
2.) Hintereinanderausführung von Permutationen gehört zu $\begin{eqnarray*} H_f \end{eqnarray*}$ .
3.) mit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ gehört $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} H_f \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 21:39

Mai

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Danke für deine Antwort! smile

Ich hab mir mal ein kleines Beispiel überlegt, um zu schauen, ob ich deine Erklärung richtig verstanden habe:

Ich nehme mal n=3 an. Dann ist f:{1,2,3} -> M und S_3 hat 6 Elemente. Wenn ich dein 2. Beispiel übernehme, sodass f(1)=a, f(x)=b sonst., dann hat H_f (als Teilmenge von S_3) 2 Elemente, nämlich einmal die Identität von S_3 und dann noch die Permutation, bei der nur 2 und 3 miteinander vertauscht werden. In beiden Fällen ist 1 fest. Habe ich das so richtig verstanden?

Ich hab dann noch versucht, deinen Tipp anzuwenden:

2.) $\begin{eqnarray*} \forall \sigma_1,\sigma_2 \in\ H_f \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (\sigma_1 \circ \sigma_2) \in\ H_f \end{eqnarray*}$ , denn: $\begin{eqnarray*} f \circ (\sigma_1 \circ \sigma_2) = (f \circ \sigma_1) \circ \sigma_2 = f \circ \sigma_2 = f \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} \forall \sigma \in\ H_f \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \in\ H_f \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \sigma = \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \circ \sigma^{-1} = f \circ \sigma = f \end{eqnarray*}$

Stimmt der Beweis soweit? Ich hab die Rechnung, wie ich auf $\begin{eqnarray*} \sigma = \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ hier mal weggelassen. Gehört er zum Beweis noch dazu? Dann kann ich ihn noch dazuschreiben.

18.11.2012, 10:55

Elvis

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Das Beispiel ist richtig, und der Beweis zu 2.) stimmt.
Der Beweis zu 3.) muss falsch sein, das zeigt mein Beispiel 1 (in einer symmetrischen Gruppe ab S3 ist nicht jedes Element selbstinvers).
Beweis dazu mit Lemma: Eine Gruppe, in der jedes Element selbstinvers ist, ist abelsch.
Beweis des Lemma: $\begin{eqnarray*} (ab)(ab)=1 \Rightarrow ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 12:50

Mai

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Danke!

So langsam geht's bei mir voran...

Aber muss ich bei 3.) dann eine Art Fallunterscheidung machen, wenn der Beweis für $\begin{eqnarray*} 1\leq n\leq 3 \end{eqnarray*}$ stimmt aber für $\begin{eqnarray*} n> 3 \end{eqnarray*}$ nicht mehr? Nur ich komme nicht drauf, was da dann das inverse Element wäre. Die einzige Idee, die ich noch hätte, wäre $\begin{eqnarray*} \sigma = id_f \end{eqnarray*}$ , aber das leuchtet mir irgendwie nicht ein, da f ja keine Permutation ist. Hast du da einen Tipp für mich, damit ich weiterkomme?

18.11.2012, 13:56

Elvis

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Tipp: $\begin{eqnarray*} f=f\circ\sigma\circ \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt immer und $\begin{eqnarray*} f \circ \sigma = f \end{eqnarray*}$ gilt nach Voraussetzung. (fertig)

18.11.2012, 14:50

Mai

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Ich glaub, der Tipp hat geholfen. Augenzwinkern

Sieht dieser Beweis besser aus?:

$\begin{eqnarray*} \forall \sigma \in\ H_f \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \in\ H_f \end{eqnarray*}$ , denn es gilt $\begin{eqnarray*} f \circ \sigma = f \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung und $\begin{eqnarray*} f \circ \sigma \circ \sigma^{-1} = f \Leftrightarrow f \circ \sigma^{-1} = f \end{eqnarray*}$

Ich habe auch noch ein Problem mit folgender Teilaufgabe, die auf die erste aufbaut. Könntest du mir damit vielleicht auch noch helfen?

b) Sei nun $\begin{eqnarray*} a \in\ \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray*} H_a := \left\{ \sigma \in\ S_n : \sigma(a) =a\right\} \end{eqnarray*}$
Sei nun M = {0,1}. Finden Sie eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \left\{ 1,...n\right\} \rightarrow M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} H_a = H_f \end{eqnarray*}$ ist.
Wäre wegen der Defintion von M jetzt nicht nur ein Beispiel möglich, nämlich $\begin{eqnarray*} H_a := \left\{ \sigma \in\ S_n : \sigma(1) =1\right\} \end{eqnarray*}$ ? Das wäre doch dann genau dein 2. Beispiel von oben, da 1 festbleibt, oder? Dann hieße die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \left\{ 1,...n\right\} \rightarrow \left\{ 0,1\right\}, f(1)=1, f(x)=0 \end{eqnarray*}$
Aber darf ich das überhaupt so schreiben? Irgendwas sagt mir, dass mein Beispiel nicht stimmt...

18.11.2012, 16:27

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mai
$\begin{eqnarray*} f \circ \sigma \circ \sigma^{-1} = f \Leftrightarrow f \circ \sigma^{-1} = f \end{eqnarray*}$

Diese Äquivalenz stimmt nicht, da $\begin{align*} \sigma \circ \sigma^{-1} = id \end{align*}$ und $\begin{align*} f\circ\sigma \circ \sigma^{-1} = f \end{align*}$ eine Tautologie ist, also immer wahr.

Gruß
Peter

18.11.2012, 16:40

Mai

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Ach Mensch, immer wenn ich glaube, ich hab's verstanden, ist es doch falsch... unglücklich

Aber wie muss ich es denn dann umformen? Ich hab leider keine andere Idee mehr.

18.11.2012, 19:53

Mai

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Nach langem Überlegen ist mir jetzt doch noch etwas eingefallen:

$\begin{eqnarray*} \forall \sigma \in\ H_f \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \in\ H_f \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f \circ \sigma^{-1} = f\circ \sigma \circ \sigma^{-1} =f \end{eqnarray*}$ .

Ist dieser Beweis richtig?

Bei der b), die ich oben geschildert habe, bin ich leider kein Stück weitergekommen. unglücklich

Ich wäre wirklich für jede Hilfe sehr dankbar, da ich jetzt schon ewig an Mathe sitze und bis morgen früh eigentlich alles haben sollte.

Schon mal ein Dankeschön im Voraus.

19.11.2012, 17:40

Elvis

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Der Beweis ist richtig, man kann ihn mit ein paar Klammern noch deutlicher schreiben:
$\begin{eqnarray*} f\circ\sigma^{-1}=(f\circ\sigma)\circ\sigma^{-1}=f\circ(\sigma\circ\sigma^{-1})=f\circ id=f \end{eqnarray*}$

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